Postsecondary • 2yr.
Il y a plusieurs paires de nombres (positifs ou négatifs) dont la somme vaut l’unité. Parmi ceux-ci, trouvez les deux nombres dont la somme du double du carré du prmier nombre et du cube du second nombre donnerait une valeur maximale relative.
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on pose x, y les deux nombres en question
x+y=1 x,y réels
S(x,y)=2y^2+x^3
on doit trouver un maximum local de la somme S(x,y)
y=1-x
S(x,y)=2(1-x)^2+x^3
S(x,y)=2(x^2-2x+1)+x^3
S(x,y)=x^3+2x^2-4x+2
on pose f(x)=x^3+2x^2-4x+2
polynôme du 3 degré
f'(x)=3x^2+4x-4
f'(x)=0 deux solutions x=-2 ou x=2/3
f'(x)=3(x+2)(x-2/3)
Signe de f'(x)
]-∞, -2 [ f'(x) strictement positive, f est croissante
]-2, 2/3 [ f'(x) strictement négative, f est décroissante
]2/3, +∞ [ f'(x) strictement positive f est croissante
x=-2 f'(-2)=0, tangente horizontale
donc en x=-2 on a un extremum local
x=2/3 f'(2/3)=0, tangente horizontale
donc en x=2/3 on a un minimum local
limite f(x) quand x tend vers -∞ = -∞
limite f(x) quand x tend vers +∞ = +∞
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d'après le graphe
x=-2 on a un extremum local
f(-2)=(-2)^3+2(-2)^2-4(-2)+2
f(-2)=10
pour x=-2 on obtient y=3
donc pour le couple (-2,3) est solution
S(x,y)=2y^2+x^3
S(-2,3)=2(3)^2+(-2)^3
S(-2,3)=18+(-8)=10
Il faut exprimer ces contraintes le plus généralement possible
par ailleurs
2x² + y³
= 2x² + (1 - x)³ = 2x² + (1 - 2x + x²)(1 - x)
= 2x² + 1 - 2x + x² - x + 2x² - x³ = 1 - 3x + 5x² - x³
en dérivant 1 - 3x + 5x² - x³ tu peux trouver une valeur de x pour laquelle cette expression a une valeur maximale relative (quand la dérivée est nulle).
Note: il y a un maximum relatif et un minimum relatif