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Salut!

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Tu peux commencer par simplifier l'angle \(\frac{19\pi}{4}\) en trouvant l'angle correspondant entre 0 et 2π (dans l'intervalle du cercle trigonométrique). Pour ce faire, soustrais 2π de ton angle autant de fois que tu le peux (on s'arrête avant d'arriver à une valeur négative)

$$ \frac{19\pi}{4} - 2\pi - 2\pi = \frac{3\pi}{4} $$

On ne peut pas soustraire 2π davantage, puisqu'on obtiendrait un nombre négatif. Ainsi,

$$ sec(\frac{19\pi}{4}) = sec(\frac{3\pi}{4}) $$

Ensuite, on doit utiliser notre cercle trigonométrique :

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On sait que \(sec x = \frac{1}{cos x} = (cos x )^{-1}\). Nous allons donc chercher le cosinus de l'angle \(\frac{3\pi}{4}\), soit \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

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Donc,

$$ sec(\frac{3\pi}{4}) = (cos \frac{3\pi}{4} )^{-1}= (-\frac{\sqrt{2}}{2})^{-1}=-\frac{2}{\sqrt{2}}$$

Il ne nous reste plus qu'à rationaliser l'expression :

$$ -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} =-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$

Voilà! La réponse finale est donc :

$$ sec(\frac{19\pi}{4}) = -\sqrt{2}$$

J'espère que c'est plus clair pour toi! :)