Postsecondary • 2yr.
Je ne comprend toujours pas comment trouver le système
Je ne comprend toujours pas comment trouver le système
Explanation from Alloprof
This Explanation was submitted by a member of the Alloprof team.
Salut!
La première équation que tu as trouvée est bonne, bien joué! :D
Pour trouver la seconde, tu dois utiliser la loi des cosinus.
Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.
sur le triangle suivant :
Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.
On sait que le rayon des petits cercles est identique, ce qui nous permet de déduire qu'un des côtés du triangle jaune mesure \(2r\) (r+r).
En appliquant la loi des cosinus sur le triangle, on a alors l'équation :
$$ (2r)^2 = (R+r)^2 + (R+r)^2 - 2 (R+r) (R+r) cosθ$$
que l'on peut simplifier pour avoir :
$$ (2r)^2 = 2(R+r)^2 - 2 (R+r)^2 cosθ$$
$$ 4r^2 = 2(R+r)^2 - 2 (R+r)^2 cosθ$$
On peut factoriser (R+r)², ce qui nous donne :
$$ 4r^2 = (R+r)^2 (2- 2cosθ)$$
Puisqu'on souhaite avoir un système avec 2 inconnus seulement, soit R et r, il faut alors trouver la valeur de θ, soit l'angle en radians (car on utilise la loi des cosinus = on doit être en radians et non en degrés) dans le triangle.
Pour trouver cet angle, nous n'avons qu'à diviser 360° par 8, puisqu'il y a 8 cercles.
Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.
On trouve alors que l'angle dans le triangle est de 45 degrés, ce qui équivaut à π/4 radians.
Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.
On aurait également pu diviser 2π (car 2π radians = 360 degrés = un tour complet dans le cercle trigonométrique) par 8, ce qui nous donnerait directement l'angle en radians, soit π/4 radians.
On vient finalement insérer cet angle dans notre équation :
$$ 4r^2 = (R+r)^2 (2- 2cos\frac{\pi}{4})$$
Et on simplifie :
$$ 4r^2 = (R+r)^2 (2- 2\frac{\sqrt{2}}{2})$$
$$ 4r^2 = (R+r)^2 (2- \sqrt{2})$$
On a ainsi trouvé notre seconde équation du système d'équations! :D
J'espère que c'est plus clair pour toi! Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à nous réécrire! :)
@@
Tu as eu une réponse plus complète de Fer dans un message précédent.
.
Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.