Secondary V • 2mo.
X,y,z, appartiennent a IR
Montre que :
x+y≤xy et y+z≤yz implique x+z≤xz
X,y,z, appartiennent a IR
Montre que :
x+y≤xy et y+z≤yz implique x+z≤xz
Explanation from Alloprof
This Explanation was submitted by a member of the Alloprof team.
Bonjour FauconDelta,
Je te remercie d'avoir pensé à nous écrire et j'espère que tu vas bien. Pour ce problème-ci, il faudra considérer 2 scénarios possibles.
En effet, on peut tenter tous les nombres de IR, seulement 2 cas fonctionnent : celui où les 2 variables sont supérieures ou égales à 2 (donc 2+2 = 4 et 2x2=4), soit celui où les 2 variables sont négatives (- + - = -, mais - x - = +, en terme de signes).
Ainsi, si x+y <= xy, alors X et Y ont le même signe ET s'ils sont positifs, ils sont supérieurs à 2.
De même, si y+z <= yz, alors Y et Z ont le même signe ET s'ils sont positifs, ils sont supérieurs à 2.
Alors, comme les 2 phrases d'avant sont assumées vraies, on aura donc que X et Z auront le même signe, car le signe de X = le signe de Y et le signe de Y = celui de Z. D'ailleurs, si le signe est positif, toutes les variables seront supérieures ou égales à 2.
Comme X et Z ont donc le même signe et sont <= à 2 s'ils sont positifs, on a donc la confirmation que x+z <= xz, tant que les conditions 1) x+y<=xy et 2)y+z<=yz sont respectées.
Le truc ici, en conclusion, c'est de se faire différents scénarios, selon les combos de types de nombres possibles (+, -, fractions <1, celles entre 1 et 2, etc.).
N'hésite pas à nous réécrire pour d'autres questions et je te souhaite une belle journée :) !
On te demande de prouver un énoncé qui est faux.
Tu peux montrer que c'est faux à l'aide d'un contre exemple:
en prenant y grand et x, z petits
soit x = 1.5 y = 100000 et z = 1.5
on a bien x + y ≤xy car
1.5 + 100000 = 100001.5
100000 x 1.5 = 150000 => 100001.5 ≤150000
on a aussi y + z ≤xz puisque x et z on la même valeur
par contre
x + z = 1.5 + 1.5 = 3
et xz = 2.25 qui est clairement plus petit que 3