Secondaire 5 • 8m
Bonjour !
J'ai des questions sur les réponses à écrire pour les inéquations sinus et cosinus.Je ne comprends pas pourquoi des fois j'ai des réponses différentes pour les mêmes signes elles ne sont pas dans les mêmes intervalles. Je ne trouve rien dans les fiches donc j'aurai besoin d'une explication.
Merci!
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Salut!
Je t'invite à consulter les fiches suivantes :
Elles présentent justement la démarche à suivre pour résoudre une inéquation sinus ou cosinus.
Par exemple, si on veut résoudre l'inéquation suivante :
$$4 cos\frac{2\pi}{3}(x-1)+1≥3$$
si x ∈ [1, 5].
On doit commencer par remplacer le signe d'inégalité par un signe d'égalité, et résoudre l'équation comme à l'habitude.
$$4 cos\frac{2\pi}{3}(x-1)+1=3$$
Une fois que tu auras résolu l'équation, tu dois identifier la période de la fonction, puis exprimer tes réponses de la forme suivante :
$$x_{1} + pn, n ∈ ℤ$$
$$x_{2} + pn, n ∈ ℤ$$
où \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont les réponses obtenues lors de la résolution (tu peux avoir une seule réponse ou deux), et où \(p\) est la période de la fonction.
\(n\) est simplement un entier qui nous permet de trouver n'importe quelle solution, parce qu'on se rappelle que puisqu'il s'agit d'une fonction périodique, alors il y a une infinité de solutions, \(x_{1}\) et \(x_{2}\) se répète à l'infini dans les cycles suivants et précédents, donc en choisissant un certain nombre entier \(n\) de notre choix, on obtiendra la réponse pour un certain cycle donné.
Ainsi, tu auras alors obtenu l'ensemble-solution où la fonction est supérieure ou égale à 3 pour x ∈ ]-∞, ∞[. Il te reste donc ensuite à trouver l'ensemble-solution pour x ∈ [1, 5].
Pour ce faire, tu devras choisir des valeurs entières de \(n\) et calculer l'intervalle obtenu. Puis, tu dois vérifier que cet intervalle se situe entre [1, 5].
Par exemple, si tu obtiens cet ensemble-solution une fois que tu auras résolu l'inéquation :
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Pour n=1, on a l'intervalle suivant :
$$x ∈ [-6,19+ \frac{2\pi}{3} (1) ; -5,72+ \frac{2\pi}{3} (1) ] $$
$$x ∈ [-4,09 ; -3,63] $$
En d'autres mots, ceci signifie que la fonction est supérieure ou égale à 3 entre x=-4,09 et x=-3,63.
Puisque notre domaine est x ∈ [1, 5], c'est-à-dire que l'on cherche une solution comprise entre x=1 et x=5, alors x ∈ [-4,09 ; -3,63] ne fait pas partie de l'ensemble-solution, puisqu'il est à l'extérieur du domaine que l'on veut.
On continue avec n=2 : x ∈ [-2 ; -1,5]. On ne garde pas cet intervalle non plus.
n=3 : x ∈ [0,09 ; 0,56] On ne garde pas cet intervalle non plus.
n=4 : x ∈ [2,19 ; 2,65] On garde cet intervalle, puisqu'on est bien entre x=1 et x=5 !
On continue ainsi jusqu'à ce que l'on dépasse x=5. Il faut ensuite unir tous les intervalles trouvés par un symbole d'union. x ∈ [2,19 ; 2,65] U [...] U ....
Voilà! J'espère que c'est plus clair pour toi! Reviens nous voir si tu as d'autres questions! :)
PS Si tu as un exercice en particulier qui te pose problème, tu peux nous l'envoyer en photo, ça nous fera plaisir de t'aider!
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Voici ce qui a été trouvé automatiquement sur le site, en espérant que ça t’aide!