Bonjour je n'arrive pas à comprendre ce problème je n'arrive pas à imaginer la situation et à le dessiner dans un graphique. Pouvez-vous m'aider ?
Explications (2)
Explication d’élève
22 juin 2021
Bonjour CuivreJuste2713,
Merci pour ta question!
Il s'agit d'une question qui fait intervenir les fonctions sinusoïdales. Il faut pouvoir utiliser les données du problème afin de trouver une fonction qui représente le mouvement du flotteur, et ce, pour finalement trouver le nombre de fois qu'il atteint un minimum dans les premières 12 secondes.
D'abord, énumérons les informations données (et celles qu'on peut déduire) :
• le temps est représenté par la variable x
• la hauteur du flotteur est représentée par la variable y
• la hauteur minimale (le minimum de la fonction) est 7 cm
• la hauteur maximale (le maximum de la fonction) est 13 cm
• le temps entre le minimum et le maximum (donc, la moitié de la période de la fonction) est de 2,5 s. La période est donc 5 s.
• la hauteur à l'instant initial (x = 0 s) est de 10 cm
• la fonction décroit initialement si la hauteur passe de 10 cm à 7 cm
Choisissons la fonction cos. À l'instant initial, celle-ci est située à un maximum (nous la déplacerons pour qu'elle ne débute pas à un maximum, mais bien à 10 cm de hauteur).
Avec ces données, on peut déduire certains paramètres :
• amplitude :
$$ amplitude = \frac{max-min}{2} = \frac{13-7}{2}\:cm = 3\:cm $$
• b :
$$ b = \frac{2•\pi}{période}= \frac{2•\pi}{5\:s} = \frac{2}{5}\pi $$
• Le paramètre k représente la hauteur de la fonction lorsqu'elle est à mi-chemin entre son maximum et son minimum. Il s'agit donc du maximum-l'amplitude ou le minimum+l'amplitude :
$$ k = 7 + 3 = 13 - 3 = 10\:cm $$
• Pour trouver le paramètre h, il faut utiliser le point connu à l'instant initial (10 cm de hauteur) en le remplaçant dans l'équation :
$$ y = a•cos(b(x-h)) + k $$
$$ 10 = 3 • cos(\frac{2}{5}\pi(0-h)) + 10 $$
On trouve que h = -5/4 ou h = -15/4.
Un coup d'oeil au graphique montre que seul h = -5/4 respecte la contrainte que la fonction est décroissante immédiatement après l'instant x = 0 s.
Bref, l'équation est la suivante :
$$ y = 3•cos(\frac{2}{5}\pi(x+\frac{5}{4}))+10 $$
Il ne te reste alors qu'à trouver le nombre de minimums dans les 12 premières secondes (avec un graphique ou algébriquement).
Cette fiche du site d'Alloprof parle des propriétés de la fonction sinus et cosinus :
N'hésite pas si tu as d'autres questions!
Explication d’élève
22 juin 2021
bonjour,
Si on opte pour la fonction sinus parce que le cycle commence au point d'inflexion alors les paramètres sont
a = -3, b = 2pi/5, h = 0 et k = 10.
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