Zone d’entraide

NeptuneHumble6002

Bonjour, je ne comprend pas comment résoudre se problème, quelqu’un pourrait m’aider?

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AvocatTenace6777

Un problème complexe ...

Le graphique de la température en fonction du temps pour 24 heures :

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Il était possible de choisir h=10 qui est l'abscisse à mi-chemin entre l'abscisse du minimum et celle du maximum.

P.S. J'aurais cru que la charge restante de la batterie serait donnée par une fonction exponentielle mais l'ajustement est mauvais.

Louis-Philippe B

Salut ! :)

Merci pour ta question!

D'abord, il faut commencer par établir la règle de la fonction sinusoïdale de la température :

• Sur l'axe des x (abscisses), il y aura le temps

• Sur l'axe des y (ordonnées), il y aura la température

Deux points (un minimum et un maximum) sont connus :

• Minimum : (4; 10,5)

• Maximum : (16; 23)

Comme les températures minimale et maximale sont connues, on peut déterminer l'amplitude, a, de la fonction :

$$ a = \frac{max-min}{2} = \frac{23-10,5}{2} = 6,25 $$

Comme la durée entre le minimum et la maximum correspond à la moitié de la période, on peut trouver le paramètre b de la fonction :

$$ b = \frac{2\pi}{période}=\frac{2\pi}{2•(16-4)}=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12} $$

Sachant l'amplitude et les températures minimale et maximale, on peut trouver le paramètre k :

$$ k = min + amplitude (= max - amplitude) = 10,5 + 6,25 = 16,75 $$

Puis, connaissant deux points (et une ébauche de l'équation), on peut trouver la valeur de h :

$$ f(x) = a•sin(b(x-h)) + k $$

$$ f(x) = 6,25•sin(\frac{\pi}{12}•(x-h)) + 16,75 $$

$$ f(4) = 10,5 = 6,25•sin(\frac{\pi}{12}•(4-h)) + 16,75 $$

$$ \frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{12}•(4-h) $$

$$ 18=4-h $$

$$ h = -14 $$

Bref, l'équation est :

$$ f(x) = 6,25•sin(\frac{\pi}{12}•(x+14)) + 16,75 $$

Sachant cela, il faut alors trouver, au cours des premières 24 heures de la fonction, les intervalles de temps pendant lesquelles la température est supérieure à 22 °C (et pendant lesquelles le refroidissement est en fonction).

$$ 22 = 6,25 • sin(\frac{\pi}{12}•(x+14)) + 16,75 $$

$$ 0,84 = sin(\frac{\pi}{12}•(x+14)) $$

$$ x_1 = 13,809\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_2=18,191 $$

Bref, la température excède 22 °C pendant 18,191-13,809 = 4,382 heures de la journée. Ceci correspond à 4,382 • 60 = 262,92 minutes d'utilisation.

En traçant les points de l'expérimentation dans un graphique, on réalise qu'il semble s'agir d'une fonction affine. Bref, on peut déduire que la règle de la décharge de la batterie est représentée par une fonction de forme f(x) = ax + b.

Pour trouver le taux de variation, il faudra alors prendre les deux points extrêmes : (0; 100,0000) et (100; 76,3462).

$$ a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{76,3462-100,0000}{100-0} $$

$$ a ≈ -0,2365 $$

Puis, connaissant un point dans l'équation de la droite, on peut trouver la valeur de b, l'ordonnée à l'origine :

$$ f(100) = 76,3462 = -0,2365•100 + b $$

$$ b ≈ 100 $$

Finalement, on peut extrapoler le nombre de minutes avant lesquelles la charge de la batterie atteint 60% :

$$ 60,0000 = -0,2365•x + 100 $$

$$ x = 169,13 $$

Puis, on peut soustraire ce nombre de minutes au nombre de minutes pendant lesquelles la température surpassait 22 °C, donnant le nombre de minutes pendant lesquelles l'ampoule est allumée :

$$ 262,92 - 169,13 = 93,79\:minutes $$

Voilà!

N'hésite pas si tu as d'autres questions!

Louis-Philippe