La droite de régression

​​La droite de régression est la droite qu’on peut tracer dans le nuage de points qui représente le mieux la distribution à deux caractères étudiée. Il existe plusieurs manières de trouver l’équation de cette droite de régression. Outre l'utilisation des calculatrices graphiques et de certains logiciels, on peut calculer manuellement l'équation de la droite de régression.

Les graphiques ci-dessous montrent le même nuage de points. Dans le premier, on a tracé 3 droites |(y_1,| |y_2| et |y_3)| qui ne sont pas de bonnes droites de régression, alors que les droites de la 2^e figure |(y_4| et |y_5)| peuvent toutes les 2 être considérées comme des droites de régression valables.

Bien que la méthode à main levée soit acceptable dans la plupart des situations, c’est la méthode la moins précise. Comme on peut le voir dans l’exemple précédent, 2 droites semblent convenir pour le même nuage de points, même si elles ont des pentes légèrement différentes. Pour plus de précisions, il vaut mieux favoriser une autre méthode comme la droite de Mayer ou la droite médiane-médiane.

1. Placer les points dans un plan cartésien.

2. Tracer une droite de régression.

3. Déterminer 2 points situés sur la droite de régression.

4. Trouver la règle de la droite à l’aide de ces 2 points.

5. Prédire une valeur à l’aide de la règle.

À la suite d’une enquête réalisée auprès de |16| familles québécoises, on s'est intéressé aux dépenses totales liées aux sports et aux loisirs en fonction de leur revenu familial. La table de valeurs ci-dessous présente les données recueillies.

a) Une famille a un revenu familial annuel de |250\ 000\ \$.| Si cette famille suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, à quel montant son budget consacré aux sports et aux loisirs s'élève-t-il?

b) Une famille dépense en moyenne |7\ 500\ \$| par année pour les sports et les loisirs. À combien son revenu familial annuel s’élève-t-il si elle suit les habitudes d’une famille québécoise typique?

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1. Placer les points dans un plan cartésien

On place le revenu familial annuel sur l’axe des |x| et les dépenses liées aux sports et aux loisirs sur l’axe des |y.|

2. Tracer une droite de régression

Comme il y a |16| points dans le nuage de points, on s’assure d’en placer |8| de part et d’autre de la droite. On s’assure également d’avoir une droite dont la pente s’ajuste bien au nuage de points.

Remarque : La droite aurait pu être tracée un peu plus haut ou un peu plus bas. Si c'est le cas, alors la règle et les prédictions peuvent varier légèrement en conséquence.

3. Déterminer 2 points situés sur la droite de régression

On choisit le point |(10\ 000, 0)| et le point |(170\ 000, 12\ 000).|

4. Trouver la règle de la droite à l’aide de ces 2 points

Comme il s’agit d’une droite, la règle sera de la forme |y=ax+b.|

On commence par calculer la pente |(a).| ||\begin{align}a&=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\&=\dfrac{12\ 000-0}{170\ 000-10\ 000}\\&=\dfrac{12\ 000}{160\ 000}\\&=\dfrac{3}{40}\\ &=0{,}075\end{align}||Ensuite, on remplace |a| par |0{,}075| et les variables |x| et |y| par les coordonnées d’un des 2 points, puis on isole |b.| ||\begin{align}y&=ax+b\\ y&=0{,}075x+b\\0&=0{,}075(10\ 000)+b\\0&=750+b\\-750&=b \end{align}||Ainsi, la règle de la droite de régression tracée à main levée est |y=0{,}075x-750.|

5. Prédire une valeur à l’aide de la règle

a) Une famille a un revenu familial annuel de |\boldsymbol{250\ 000\ \$.}| Si cette famille suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, à quel montant son budget consacré aux sports et aux loisirs s'élève-t-il?

Il s’agit d’une prédiction par extrapolation, car le revenu familial en question |(250\ 000\ \$)| est en dehors de l’intervalle des revenus familiaux étudiés, qui étaient tous situés entre |20\ 000| et |150\ 000\ \$.|

On remplace la variable |x| par |250\ 000\ \$| dans la règle de la droite de régression et on complète le calcul. ||\begin{align}y&=0{,}075x-750\\y&=0{,}075(250\ 000)-750\\y&=18\ 750-750\\y&=18\ 000\ \$  \end{align}||

Réponse : Si une famille ayant un revenu annuel de |250\ 000\ \$| suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, elle devrait consacrer |18\ 000\ \$| aux sports et aux loisirs.
 

b) Une famille dépense en moyenne |\boldsymbol{7\ 500\ \$}| par année pour les sports et les loisirs. À combien son revenu familial annuel s’élève-t-il si elle suit les habitudes d’une famille québécoise typique?

Il s’agit d’une prédiction par interpolation, car le budget annuel consacré aux loisirs et aux sports |(7\ 500\ \$)| est à l’intérieur de l’intervalle étudié |(500| à |13\ 000\ \$).| On peut donc faire une estimation du revenu annuel de cette famille à l’aide de la droite de régression.

On remplace la variable |y| par |7\ 500\ \$| et on isole |x.| ||\begin{align} y &= 0{,}075x-750 \\ 7\ 500 &= 0{,}075x-750 \\ 7\ 500\boldsymbol{\color{#ec0000}{+750}} &= 0{,}075x-750\boldsymbol{\color{#ec0000}{+750}} \\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{8\ 250}}{\boldsymbol{0{,}075}}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{0{,}075x}}{\boldsymbol{0{,}075}}} \\ 110\ 000\ \$ &= x \end{align}||

Réponse : Si une famille dépense en moyenne |7\ 500\ \$| par année pour les sports et les loisirs, on peut s’attendre à ce que son revenu familial annuel soit d’environ |110\ 000\ \$.|

Dans le graphique, on peut voir que la droite de régression qu’on a tracée passe bel et bien par le point |(110\ 000, 7\ 500).|

Remarque : Le même problème a été résolu dans les fiches portant sur la droite médiane-médiane et sur la droite de Mayer. Chaque fois, on obtient des résultats comparables.

À la suite d’une enquête réalisée auprès de |16| familles québécoises, on s'est intéressé aux dépenses totales liées aux sports et aux loisirs en fonction de leur revenu familial. La table de valeurs ci-dessous présente les données recueillies.

a) Une famille a un revenu familial annuel de |250\ 000\ \$.| Si cette famille suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, à quel montant son budget consacré aux sports et aux loisirs s'élève-t-il?

b) Une famille dépense en moyenne |7\ 500\ \$| par année pour les sports et les loisirs. À combien son revenu familial annuel s’élève-t-il si elle suit les habitudes d’une famille québécoise typique?

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1. Transcrire la table de valeur dans le tableur

2. Tracer le nuage de points

En sélectionnant les cases A1 à Q2, on peut demander au logiciel de tracer le nuage de points pour nous en quelques clics. Le résultat devrait ressembler à ceci.

3. Tracer la droite de régression

En cliquant sur le graphique, on a accès à de nombreuses options. L’une d’entre elles permet de tracer une courbe de tendance. Si on choisit le modèle linéaire, qui est souvent le 1^er modèle proposé, on obtient ceci.

4. Trouver la règle de la droite à l’aide de ces 2 points

On peut également décider de faire afficher l’équation de la droite ou non. Sur la figure précédente, elle apparait juste en haut du graphique.

Ainsi, la règle de la droite de régression trouvée à l’aide d’un tableur est |y=0{,}063\,7x+586.|

5. Prédire une valeur à l’aide de la règle

Généralement, les logiciels peuvent faire les calculs qui suivent automatiquement. Il suffit de fournir une valeur de |x| ou de |y| et de demander au logiciel de prédire la valeur de l’autre variable en utilisant la règle qu’il vient de calculer.

a) Une famille a un revenu familial annuel de |\boldsymbol{250\ 000\ \$.}| Si cette famille suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, à quel montant son budget consacré aux sports et aux loisirs s'élève-t-il?

On remplace la variable |x| par |250\ 000\ \$| dans la règle de la droite de régression et on complète le calcul. ||\begin{align}y&=0{,}063\,7x+586\\y&=0{,}063\,7(250\ 000)+586\\y&=15\ 925+586\\y&=16\ 511\ \$  \end{align}||

Réponse : Si une famille ayant un revenu annuel de |250\ 000\ \$| suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, elle devrait consacrer environ |16\ 511\ \$| aux sports et aux loisirs.
 

b) Une famille dépense en moyenne |\boldsymbol{7\ 500\ \$}| par année pour les sports et les loisirs. À combien son revenu familial annuel s’élève-t-il si elle suit les habitudes d’une famille québécoise typique?

On remplace la variable |y| par |7\ 500\ \$| dans la règle de la droite de régression et on isole |x.| ||\begin{align} y &= 0{,}063\,7x+586 \\ 7\ 500 &= 0{,}063\,7x+586 \\ 7\ 500\boldsymbol{\color{#ec0000}{-586}} &= 0{,}063\,7x+586\boldsymbol{\color{#ec0000}{-586}} \\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{6\ 914}}{\boldsymbol{0{,}063\,7}}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{0{,}063\,7x}}{\boldsymbol{0{,}063\,7}}} \\ 108\ 540\ \$ &\approx x \end{align}||

Réponse : Si une famille dépense en moyenne |7\ 500\ \$| par année pour les sports et les loisirs, on peut s’attendre à ce que son revenu familial annuel soit d’environ |108\ 540\ \$.|
 

Remarque : Le même problème a été résolu dans les fiches portant sur la droite médiane-médiane et sur la droite de Mayer. Chaque fois, on obtient des résultats comparables.

Faire une prédiction, c’est déterminer une nouvelle valeur à partir des données ayant permis d’établir un modèle mathématique. Une prédiction peut être faite par interpolation ou par extrapolation.

• L’interpolation consiste à estimer la valeur d’une des 2 variables à l’étude à partir de la valeur de l’autre variable si celle-ci est à l’intérieur de l’intervalle couvert par les données de l’échantillon.

• L’extrapolation consiste à prédire la valeur d’une des 2 variables à l’étude à partir de la valeur de l’autre variable si celle-ci est en dehors de l'intervalle couvert par les données de l’échantillon.