La fonction de variation inverse (situation inversement proportionnelle)

La fonction de variation inverse, aussi appelée situation inversement proportionnelle, est une fonction dont le produit |x \times y| est constant pour tout couple |(x,y).|

La règle d'une fonction de variation inverse est la suivante. ||y=\dfrac{k}{x}||où |x > 0|

On associe souvent la fonction de variation inverse à la fonction rationnelle. La règle sous la forme canonique d’une fonction rationnelle est la suivante.||f(x)=\dfrac{a}{b(x-h)}+k||

où |x \neq h|

Autrement dit, on peut considérer que la fonction de variation inverse est un cas particulier de l’ensemble des fonctions rationnelles. Dans le cas des fonctions rationnelles, le produit des variables |x| et |y| n’est pas nécessairement constant, contrairement aux fonctions de variation inverse.

Soit la table de valeurs suivante.

Le produit de |x| et |y| donne toujours |320,| ce qui implique qu’il s’agit d’une fonction de variation inverse.

La règle associée à cette table de valeurs est donc |y=\dfrac{320}{x}.|

1. Choisir un couple |(x,y).|

2. Remplacer |x| et |y| dans la formule |y= \dfrac{k}{x}| par les coordonnées choisies à l'étape 1.

3. Isoler |k.|

Trouve la règle de la fonction de variation inverse dont le graphique est le suivant.

1. Choisir un couple
   On prend le couple |(2,5).|

2. Remplacer |x| et |y|
   En remplaçant |x| par |2| et |y| par |5| dans la formule, on obtient : ||\begin{align} y&=\dfrac{k}{x}\\ \color{#3b87cd}{5}&=\dfrac{k}{\color{#3b87cd}{2}} \end{align}||

3. Isoler |k|
   On fait un produit croisé. ||\begin{align} \color{#3b87cd}{2}\times \color{#3b87cd}{5} &= k \\ 10 &=k \end{align}||

Réponse : La règle de la fonction de variation inverse est |y= \dfrac{10}{x}.|

On peut sélectionner un autre couple et vérifier si l’équation est correcte.

Louis décide de louer un chalet dans les Laurentides pour fêter son anniversaire. Il invite plusieurs de ses amis pour célébrer avec lui. Le cout de la location du chalet s’élève à |480\ $| pour la fin de semaine. Les amis de Louis décident de se partager entre eux le cout de la location du chalet.

Louis s’intéresse donc au cout que chaque personne aura à débourser selon le nombre de personnes qui seront présentes lors de cette fin de semaine.

Ainsi, si |1| personne loue le chalet, elle devra débourser |480\ $.| Si |2| personnes louent le chalet, chaque personne devra débourser |240\ $.| En poursuivant ce raisonnement, on peut produire la table de valeurs suivante.

1. Choisir un couple
   On prend le couple |(10,48).|

2. Remplacer |x| et |y|
   En remplaçant |x| par |10| et |y| par |48| dans la formule, on obtient :||\begin{align}y &= \dfrac{k}{x} \\ 48 &= \dfrac{k}{10}\end{align}||

3. Isoler |k| ||\begin{align} 48\times 10 &= k \\ 480 &=k \end{align}||

Ainsi, la règle de la fonction de variation inverse qui donne le cout |($)| que chacune des personnes aura à débourser en fonction du nombre de personnes présentes est |y= \dfrac{480}{x}.|

Trace le graphique associé à la règle |y=\dfrac{24}{x}.|

On peut produire une table de valeurs à partir de cette équation.

Voici le graphique de cette fonction de variation inverse.
 

La règle suivante représente le nombre de croissants |(n)| que l’on peut acheter avec |6\ $| en fonction du prix en |$| d’un croissant |(p).| ||n=\dfrac{6}{p}||Quelle est la règle de la réciproque, c’est-à-dire la règle qui donne le prix d’un croissant en fonction du nombre de croissants qu’on a réussi à acheter avec |6\ $|?

On obtient la règle de la réciproque en interchangeant simplement les variables |n| et |p.| ||\begin{align} \color{#3B87CD}n &= \dfrac{6}{\color{#FF55C3}p} \\ \color{#FF55C3}p &= \dfrac{6}{\color{#3B87CD}n} \end{align}||Réponse : La réciproque est |p=\dfrac{6}{n}.|

Remarque : Le graphique de la fonction de variation inverse et celui de sa réciproque sont identiques. On obtient chaque point de la réciproque en interchangeant les coordonnées des points de la fonction de départ.