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La fonction rationnelle
Fiche | Mathématiques
Secondaire
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Les fonctions rationnelles regroupent toutes les fonctions où l’on retrouve une fraction dans laquelle la variable indépendante |(x)| est au dénominateur.
On associe souvent la fonction rationnelle à la fonction de variation inverse (situation inversement proportionnelle). En réalité, la fonction de variation inverse est un cas particulier de l’ensemble des fonctions rationnelles.
La règle d’une fonction de variation inverse est |f(x)=\dfrac{k}{x}| où |x \neq 0.|
Notions connexes
- Le rôle des paramètres d’une fonction rationnelle sous la forme canonique
- Le passage de canonique à générale pour la fonction rationnelle
- Tracer une fonction rationnelle
- La recherche de la règle d’une fonction rationnelle
- Les propriétés de la fonction rationnelle
- Résoudre une équation ou une inéquation rationnelle
- La résolution de problèmes impliquant la fonction rationnelle
- La réciproque de la fonction rationnelle
La fonction rationnelle de base
La forme de base d’une fonction rationnelle est la suivante. ||f(x)=\dfrac{1}{x}||où |x \neq 0|
Le graphique et les propriétés de la fonction rationnelle de base
Le graphique de la fonction rationnelle de base est composé de 2 courbes, appelées hyperboles, qui se rapprochent des 2 axes sans y toucher.
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Une courbe passe par le point |(1,1),| l’autre par le point |(-1,-1).|
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Le domaine est |\mathbb{R}\backslash \{0\}.|
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L’image est |\mathbb{R}\backslash \{0\}.|
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La fonction est décroissante sur l’intervalle |]-\infty,0[,| puis sur l’intervalle |]0,+\infty[.|
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La fonction de base ne possède pas d’ordonnée à l’origine ni de zéro.
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La fonction ne possède pas de maximum ni de minimum.
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La fonction possède 2 asymptotes perpendiculaires : |x=0| et |y=0.|
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La fonction est négative sur l’intervalle |]-\infty,0[| et est positive sur l’intervalle |]0,+\infty[.|
La fonction rationnelle transformée
La fonction rationnelle transformée peut s’écrire de 2 façons différentes.
La forme canonique
||f(x)=\dfrac{a}{b(x-h)}+k||où |b\neq 0|
La forme générale
||f(x)=\dfrac{a_1 x+b_1}{a_2 x+b_2}||où |a_2 \neq 0|
Le graphique et les propriétés de la fonction rationnelle transformée
Le graphique de la fonction rationnelle transformée est composé de 2 courbes, appelées hyperboles, qui se rapprochent des 2 asymptotes sans y toucher.
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Le domaine est |\mathbb{R}\backslash \{h\}.|
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L’image est |\mathbb{R}\backslash \{k\}.|
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Lorsque |ab>0,| la fonction est décroissante sur l’intervalle |]-\infty,h[,| puis sur l’intervalle |]h,+\infty[.|
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Lorsque |ab<0,| la fonction est croissante sur l’intervalle |]-\infty,h[,| puis sur l’intervalle |]h,+\infty[.|
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La fonction possède une ordonnée à l’origine si |h\neq 0| et un zéro si |k \neq 0.|
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La fonction ne possède pas de maximum ni de minimum.
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La fonction possède 2 asymptotes perpendiculaires : |x=h| et |y=k.|
Pour valider ta compréhension à propos de la résolution de problèmes impliquant la fonction rationnelle de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
