Le quotient de fonctions

On effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que lon effectue des opérations sur les nombres.

Le domaine de la fonction quotient correspond à l'intersection des domaines des fonctions sur lesquelles on opère. S'il y a un dénominateur, il faut exclure du domaine final les restrictions sur ce dernier.

La fonction |a| est définie par |a(x)=6x+2| et la fonction |b| est définie par |b(x)=2x^{2}+4.| ||\begin{align} \left(\dfrac{a}{b}\right)(x) &= a(x)\div b(x)\quad \text{où}\ b(x)\neq0 \\ &=\dfrac{6x+2}{2x^{2}+4} \\ &=\dfrac{2(3x+1)}{2(x^{2}+2)} \\ &= \dfrac{(3x+1)}{(x^{2}+2)} \end{align}||

Le domaine de la fonction |a| correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction |b| correspond aussi à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |\left(\dfrac{a}{b}\right)| correspondra à l'intersection des deux domaines initiaux en y enlevant les valeurs qui annulent la fonction |b|. Or, la fonction |b| est strictement positive, donc elle ne s'annule jamais. Ainsi, le domaine de la fonction sera |\mathbb{R}.|

La fonction |m| est définie par |m(x)=2x-6|  et la fonction |n| est définie par |n(x)=x-3.| ||\begin{align} \left(\dfrac{m}{n}\right)(x) &= m(x)\div n(x)\quad \text{où}\ n(x)\neq0 \\ &=\dfrac{2x-6}{x-3} \\ &=\dfrac{2(x-3)}{(x-3)} \\ &= 2 \end{align}||

Le domaine de la fonction |m| correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction |n| correspond aussi à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |\dfrac{m}{n}| correspondra à l'intersection des deux domaines initiaux auquel on enlève les valeurs qui annulent la fonction |n.| La fonction |n| devient nulle lorsque |x=3.| Donc, le domaine de la fonction |\dfrac{m}{n}| sera donc |\mathbb{R} \backslash \lbrace 3 \rbrace.|

Pour trouver le quotient de fonctions polynomiales dans un graphique, on divise limage de la première fonction par l'image de la deuxième fonction.

Pour être en mesure de produire le graphique, on peut faire une table des valeurs ou utiliser les particularités de la fonction résultante.

Retour sur l'exemple 1

Dans le premier exemple, si on fait une table des valeurs des fonctions |a(x)=6x+2,| |b(x)=2x^{2}+4| et du quotient des 2 fonctions, on obtient :

Voici la représentation graphique de l'exemple 1 :

Voici la représentation graphique de l'exemple 2. Il est important de ne pas oublier les restrictions lorsque l'on trace le graphique du quotient des deux fonctions.

 

Pour valider ta compréhension des opérations sur les fonctions de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante :