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Lorsqu’on ajoute les paramètres |a,| |b,| |h| et |k| à la forme de base |f(x)=\sin(x),| on obtient ce qu'on appelle la forme canonique (aussi appelée forme transformée) de la fonction sinus.
La forme canonique d'une fonction sinus est : ||f(x)=a\sin\big(b(x-h)\big)+k||où |a|, |b|, |h| et |k| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètres.
Remarque : Les paramètres |a| et |b| sont toujours différents de zéro.
Tu peux modifier les paramètres |a,| |b,| |h| et |k| dans l'animation interactive qui suit pour voir leurs effets sur la fonction sinus. Observe bien les modifications qui s'opèrent sur la courbe transformée (en vert) par rapport à la fonction de base (en noir). Par la suite, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour avoir toutes les précisions sur chacun des paramètres.
L'amplitude d'une fonction sinus correspond à la moitié de la différence entre le maximum et le minimum de la fonction.
En plus d'avoir un impact sur le changement d'échelle vertical, le paramètre |a| est aussi responsable de l'orientation du graphique de la fonction sinus. Tout comme dans la majorité des fonctions qui impliquent le paramètre |a|, celui-ci effectue une réflexion par rapport à l'axe des abscisses lorsqu'il est négatif.
Pour trouver sa valeur, on peut se fier aux maximum et minimum de la fonction sinus avec laquelle on travaille.
|\text{Amplitude} = \dfrac{\max - \min}{2}= {\mid}a{\mid}|
En d'autres mots, plus |\mid a \mid| est grande, plus l’amplitude du graphique de la fonction sinus est grande, soit étirée verticalement, et vice versa.
La période est la distance qui sépare deux maximums ou deux minimums consécutifs sur la fonction.
Ainsi, le paramètre |b| est responsable d’un changement d’échelle horizontal de facteur |\dfrac{1}{b}.|
Tout comme la paramètre |a,| le paramètre |b| a également un impact sur l'orientation du graphique. Lorsqu'il est négatif, il effectue une réflexion par rapport à l'axe des ordonnées de la fonction de base.
|{\mid}b{\mid} = \displaystyle \frac{2\pi}{\text{période}}|
En résumé, plus la valeur de la période est grande, plus la distance entre deux maximums ou entre deux minimums de la fonction est grande et vice versa.
À l'inverse, une période qui augmente aura pour effet de diminuer la valeur du paramètre |b.|
Le déphasage est le déplacement horizontal du point d'origine |(0,0)| de la fonction de base. On le représente par la lettre |h| dans la fonction sinus sous la forme canonique.
Avec la valeur positive du paramètre |h,| le graphique de la fonction sinus se déplace vers la droite.
Si la valeur de |h| est négative, le graphique de la fonction sinus se déplace alors vers la gauche.
C'est le déplacement vertical du point d'origine |(0,0)| de la fonction de base. On le représente par la lettre |k| dans la fonction sinus sous la forme canonique.
Pour déterminer sa valeur, on peut utiliser la valeur des maximum et minimum de la fonction avec laquelle on travaille.
|\displaystyle k = y_{moy} = \frac{\max f+\min f}{2}|
Ainsi, un paramètre |k| avec une valeur positive déplace le graphique de la fonction sinusoïdale vers le haut. À l'inverse, si la valeur du paramètre |k| est négative, le graphique se déplace vers le bas.
Un point d'inflexion d'une fonction sinusoïdale est un point où la courbe change de concavité.
Une fonction sinus a une infinité de points d'inflexions. Chacun d'eux est situé sur la courbe à mi-chemin entre un sommet supérieur (un maximum) et un sommet inférieur (un minimum).
|\text{Point d'inflexion de référence}=(h,k)|
|\text{Points d'inflexion}=\left(h+\dfrac{n\text{P}}{2},\ k\right)\quad \text{où }n \in \mathbb{Z} \text{ et P est la période}|