Les représentations d'un ensemble-solution

• Les nombres entiers supérieurs à -3 et inférieurs à 7. |\to\ \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 7 \}|

• Les nombres naturels supérieurs ou égaux à 2. |\to\ \{x \in \mathbb{N} \mid x \ge 2 \}|

• Les nombres réels supérieurs ou égaux à -5 et inférieurs à 6. |\to\ \{x \in \mathbb{R} \mid -5 \le x < 6 \}|

Pour commencer, on représente la droite numérique et on positionne le nombre de notre inégalité.
 

• Si le signe de l'inéquation contient une égalité |(\le, \ge)|, on place un point plein |(\bullet)| pour indiquer qu'on inclut ce point dans les solutions.

• Si le signe de l'inéquation ne contient pas d'égalité |(<, >)|, on place un point vide |(\circ)| pour indiquer qu'on exclut ce point des solutions.

Exemple d'inéquation contenant une égalité

Soit l'inéquation suivante : ||\begin{align} 2x+5 &\le9 \\ 2x+5\color{red}{-5}&\le9\color{red}{-5} \\ 2x&\le4\\ \dfrac{2x}{\color{red}{2}} &\le\frac{4}{\color{red}{2}} \\ x &\le2 \end{align}||

Dans cet exemple, un point plein doit être indiqué sur le nombre 2 puisqu'une égalité est présente dans l'inéquation.

Il faut ensuite représenter l’inégalité de la solution de l'inéquation. Puisqu'il n'y a pas d'ensemble de nombres spécifié en début de problème, on considère que l'ensemble-solution fait partie des nombres réels. Il existe donc une infinité de solutions pour les inéquations.

Dans l’exemple, les solutions sont tous les nombres plus petits ou égaux à |2.|  |2,| |1,| |\dfrac{1}{2},| |\dfrac{1}{4},| |0,| |-1,| |-2, …| sont donc des solutions de notre inéquation.

Pour représenter ceci, on fait une ligne pour indiquer toutes les valeurs solutions de l’inéquation.

Exemple d'inéquation ne contenant pas d'égalité

||\begin{align} 35-3x &< 7+4x \\ 35-3x \color{red}{+3x} &< 7+4x \color{red}{+3x} \\35 &<7+7x \\35 \color{red}{-7} &<7+7x \color{red}{-7} \\28 &< 7x \\ \dfrac{28}{\color{red}{7}} &< \dfrac{7x}{\color{red}{7}} \\ 4&< x \end{align}||

Remarque : |4<x,| c'est la même chose que |x>4.|

Comme il n'y a pas d'égalité dans cette inéquation, un point vide indiquera l'extrémité de l'inéquation.

Exemples d'inéquations dans l'univers des nombres entiers

|\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x < 3 \}|
 

|\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x \le 3 \}|
 

|\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x < 3 \}| |\to| |\{-1, 0, 1, 2 \}|

|\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x \le 3 \}| |\to| |\{-2, -1, 0, 1, 2, 3 \}|

|\{x \in \mathbb{Z} \mid x \le 3 \}| |\to| |\{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}|

|\{x \in \mathbb{R} \mid -5 \le x < 6 \}| |\to| |[-5, 6[|

|\{x \in \mathbb{R} \mid x < 4 \}| |\to| |]-\infty, 4[|

|\{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 6 \}| |\to| |[6, +\infty[|