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Salut!

Tout d'abord, pour mieux comprendre, imaginons que nous avons le référentiel usuel, avec l'axe des \(x\) à l'horizontale et l'axe des \(y\) à la verticale :

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Dans ce cas-là, notre poids \(m\overrightarrow{g}\) serait orienté vers l'axe négatif des y, donc elle n'aurait pas de composante en x, n'est-ce pas? Même chose pour la force de poussée \(\overrightarrow{F}\), elle serait orientée vers l'axe des \(x\), donc nous n'avons pas besoin de la décomposer, puisqu'elle n'a pas de composante en \(y\).

Cependant, il faudrait décomposer la force de frottement et la forme normale. Donc, on doit toujours décomposer une force selon les axes \(x\) et \(y\) de notre référentiel si elle n'est pas déjà parallèle à l'un des axes. Ainsi, c'est les composantes de ces forces qui seront parallèles aux axes. Par exemple, on voit dans le dessin ci-dessus que la composante en \(x\) de la force de frottement, soit \(f_{x}\), est parallèle à l'axe des \(x\), et la composante en \(y\), soit \(f_{y}\), est parallèle à l'axe des \(y\). Même chose pour la force normale, ses composantes \(N_{x}\) et \(N_{y}\) sont parallèles aux axes de notre référentiel.

Si on modifie notre référentiel en lui donnant une inclinaison par rapport à l'horizontale, le principe reste le même.

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Les forces qui sont déjà parallèles à l'un des axes, donc ici \(\overrightarrow{g}\) (qui est parallèle à l'axe des x) et \(\overrightarrow{N}\) (qui est parallèle à l'axe des y) n'ont pas besoin d'être décomposée, puisqu'elles ont une seule composante qui équivaut à la norme du vecteur et une autre composante nulle (\(N_{x}=||\overrightarrow{N}||\) et \(N_{y}\)=0, et \(f_{x}=||\overrightarrow{f}||\) et \(f_{y}\)=0).

Pour les autres forces qui ne sont pas déjà parallèles à l'un des axes du référentiel que l'on a, donc ici \(\overrightarrow{F}\) et \(m\overrightarrow{g}\), il faut les décomposer de façon à former un triangle rectangle dont les cathètes (les composantes) sont parallèles aux axes de notre référentiel! C'est pourquoi la force \(m\overrightarrow{g}\) est décomposé en \(mg_{x}\) (qui est parallèle à l'axe des x) et \(mg_{y}\) (qui est parallèle à l'axe des y)! Même chose pour \(\overrightarrow{F}\) , que l'on décompose en \(F_{x}\) et \(F_{y}\).

Maintenant, pourquoi sinus pour x, pourquoi cosinus pour y? C'est une question de trigonométrie dans le triangle rectangle! Ce n'est pas toujours sinus pour x et cosinus pour y, ça dépend de l'angle que l'on utilise! Il faut se rappeler notre truc : SohCahToa!

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Ainsi, le côté opposé à l'angle θ est \(mg_{x}\). Donc, il faut utiliser le rapport sin (SohCahToa) pour trouver la composante en x du poids. De la même façon, le côté adjacent à l'angle θ est \(mg_{y}\). Donc, il faut utiliser le rapport cos (SohCahToa) pour trouver la composante en y du poids.

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Si on voulait plutôt utiliser l'angle β suivant (qui équivaut à 180-90-θ) :

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Alors, le côté opposé à l'angle β serait \(mg_{y}\), donc il faudrait utiliser sin (SohCahToa) pour trouver la composante en y de la force. Le côté adjacent à l'angle β serait \(mg_{x}\), donc il faudrait utiliser cos (SohCahToa) pour trouver la composante en x de la force.

On voit donc qu'on doit trouver le rapport trigonométrique à utiliser selon l'angle que l'on utilise! :)

Ensuite, concernant ta seconde question, il faut utiliser nos différentes relations entre les angles pour arriver à cette conclusion. On se rappelle que notre référentiel est parallèle au plan incliné, donc son axe des x a un angle de θ par rapport à l'horizontale. Puisque la composante en x du poids est parallèle à l'axe des x, alors elle aussi possède un angle de θ par rapport à l'horizontale :

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Donc, l'angle suivant est de 90-θ:

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Donc, l'angle que tu as souligné en jaune est de 180 - 90 - (90-θ), ce qui équivaut à θ ! :

$$180 - 90 - (90-θ)$$

$$=90-(90-θ)$$

$$=90-90+θ$$

$$=θ$$

Voilà! J'espère que c'est plus clair pour toi! :)