L'approximation et l'arrondissement d'un nombre

Approximer consiste à trouver une valeur qui se rapproche le plus possible d’un nombre donné.

Estimer consiste à déterminer une valeur approximative d'une quantité inconnue.

Si on compte le nombre d'olives visibles dans ce bocal, on en compte environ |35.| On peut donc estimer qu'il y en a le double dans tout le bocal, soit environ |70| olives.

Arrondir consiste à donner une valeur qui se rapproche d’un nombre connu.

Un nombre arrondi est moins précis que le nombre connu, mais il est plus facile à réutiliser par la suite. On l’arrondit à une certaine position près (unité de mille, dizaine, centième, etc.). Pour y arriver, on repère d’abord le chiffre situé à la position à arrondir. Puis, on analyse le chiffre directement à sa droite.

• S’il s’agit d’un 0, d’un 1, d’un 2, d’un 3 ou d’un 4, le chiffre situé à la position à arrondir ne change pas.

• S’il s’agit d’un 5, d’un 6, d’un 7, d’un 8 ou d’un 9, on ajoute 1 au chiffre situé à la position à arrondir.

Tous les chiffres à la droite de la position choisie sont remplacés par |0.|

Arrondis |27\ 841| à la centaine près.

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On repère le chiffre situé à la position des centaines.||27\ \boldsymbol{\color{#3b87cd}8}41||

Le chiffre directement à sa droite est un |4.| Comme c’est un chiffre inférieur à |5,| on n’ajoute pas de centaine. On change ensuite les chiffres à la droite des centaines par des |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{0}}.|||\begin{align}27\ &\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}}\underline{4}1\\ &\:\!\Big\downarrow \\27\ &\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}} \boldsymbol{\color{#3a9a38}{00}}\end{align}||

Réponse : Le nombre |27\ 841| arrondi à la centaine près est |27\ 800.|

Arrondis |299| à la dizaine près.

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On repère le chiffre situé à la position des dizaines.||2\boldsymbol{\color{#3b87cd}9}9||

Le chiffre directement à sa droite est un |9.| Comme c’est un chiffre supérieur ou égal à |5,| on ajoute une dizaine. Puisqu’on se retrouve avec |10| dizaines, on ajoute une retenue à la position des centaines. On change ensuite le chiffre à la droite des dizaines par un |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{0}}.|||\begin{align}\overset{\boldsymbol{\color{#fa7921}{\large1}}}{2}&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{9}}\underline{\boldsymbol9}\\&\Big\downarrow\small{+1}\\3&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{0}}\boldsymbol{\color{#3a9a38}{0}}\end{align}||

Réponse : Le nombre |299| arrondi à la dizaine près est |300.|

Remarque : Le nombre |299| arrondi à la centaine près donne aussi |300.|

Lorsqu’on arrondit un nombre, on doit déterminer s’il est plus près d’une borne inférieure ou d’une borne supérieure. 

• On obtient la borne inférieure en tronquant le nombre à la position désirée.

• On obtient la borne supérieure à partir de la borne inférieure, en ajoutant |1| à la position désirée. 

On choisit ensuite si on arrondit à la baisse ou à la hausse en fonction de la valeur du nombre.

• S'il est plus près de la borne inférieure, on arrondit à la baisse.

• S'il est plus près de la borne supérieure, on arrondit à la hausse.

Arrondis |17\ 683| à l’unité de mille près.

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On repère le chiffre situé à la position des unités de mille.||1\boldsymbol{\color{#3b87cd}7}\ 683||

Ensuite, on détermine les 2 bornes possibles pour l’arrondissement. Pour la 1^re, on tronque |17\ 683| à l’unité de mille. Pour la 2^e, on ajoute une unité de mille à la borne inférieure.||1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{7}}\ 683\begin{cases}\begin{gather}1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}}\ 000\\\text{ou}\\1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{7}}\ 000\end{gather}\end{cases}||

Le chiffre directement à la droite des unités de mille est un |6.| Comme c’est un chiffre supérieur ou égal à |5,| on arrondit à la hausse.||1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{7}}\ \underline{\boldsymbol6}83\begin{cases}\begin{gather}1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}}\ 000 \\[3pt]\color{#ec0000}{\cancel{\color{black}{17\ 000}}}\end{gather}\end{cases}||

Réponse : Le nombre |17\ 683| arrondi à l’unité de mille près est |18\ 000.|

Arrondis |34{,}876| au dixième près.

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On repère le chiffre situé à la position des dixièmes.||34{,}\boldsymbol{\color{#3b87cd}8}76||

Le chiffre directement à sa droite est un |7.| Comme c’est un chiffre supérieur ou égal à |5,| on ajoute un dixième. Comme les chiffres à la droite des dixièmes sont situés après la virgule, on peut tout simplement les enlever au lieu de les remplacer par des |0.|||\begin{align}34{,}&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}}\underline{7}6\\ &\:\!\Big\downarrow \small{+1}\\34{,}&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{9}} \end{align}||

Réponse : Le nombre |34{,}876| arrondi au dixième près est |34{,}9.|

Arrondis |-457{,}9| à la centaine près.

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On repère le chiffre situé à la position des centaines.||-\boldsymbol{\color{#3b87cd}4}57{,}9||

Le chiffre directement à sa droite est un |5.| Comme c’est un chiffre supérieur ou égal à |5,| on ajoute une centaine. Attention! On ne tient pas compte du « − » pour ajouter la centaine. Il y a |4| centaines et non |-4| centaines. Ainsi, lorsqu’on en ajoute une, il y en a |5.| On remplace ensuite le chiffre à la position des dizaines et celui à la position des unités par des |0| et on enlève le chiffre situé après la virgule.||\begin{align}-&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{4}}\underline{5}7{,}9\\ &\:\!\Big\downarrow\small{+1} \\-&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{5}}\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\,0\,0}} \end{align}||

Réponse : Le nombre |-457{,}9| arrondi à la centaine près est |-500.|

Comme dans les exemples précédents, il arrive que l'arrondissement à donner soit clairement indiqué. Par contre, ce n’est pas toujours le cas. Parfois, il faut se fier au contexte du problème.

• Certains contextes commandent presque toujours le même arrondissement. Ce dernier n’est donc pas spécifié.
  Par exemple, les montants d'argent sont souvent arrondis au cent (¢) près, soit au centième de dollar |($).| Ainsi, |58{,}988\ \$| serait arrondi à |58{,}99\ \$.|
  
  Aussi, un nombre d'objets, d’animaux ou de personnes doit être arrondi à un nombre entier, puisqu’on ne peut pas avoir, par exemple, |26{,}8| chaises dans une salle. On aurait plutôt |26| ou |27| chaises.

• Certains contextes nécessitent toujours un arrondissement à la hausse.
  Par exemple, si on calcule que, pour un évènement, on a besoin de |52{,}4| bénévoles, il faudrait trouver |53| bénévoles même si |52{,}4| est plus près de |52| parce que sinon, le travail ne sera pas complété à temps.

• Certains contextes nécessitent toujours un arrondissement à la baisse.
  Par exemple, c’est ce qu’on fait lorsqu’on utilise la partie entière.

• En fonction du contexte, l'arrondissement attendu peut changer.
  Par exemple, pour déterminer la population du Canada, on arrondit au million d’habitants près, soit environ |40| millions. Toutefois, pour la population d’une petite municipalité, comme Senneterre, qui compte environ |2\ 200| habitants, arrondir à la centaine près est plus approprié.

Tronquer (couper) consiste à donner une valeur qui se rapproche d’un nombre en éliminant les chiffres qui se trouvent après une position donnée, sans changer le chiffre à cette position.

Si on tronque le nombre |3{,}456\,723\,134| à |3| chiffres après la virgule, on obtient le nombre |3{,}456.| Si on avait choisi d’arrondir ce même nombre au millième près, on aurait plutôt obtenu |3{,}457.|

Si on tronque le nombre |765| à la position des centaines, on obtient |700.| Si on avait plutôt décidé de l’arrondir à la centaine près, on aurait obtenu |800.|

Si on tronque le nombre |183{,}1| à la position des unités, on obtient |183.| Si on avait plutôt décidé de l’arrondir à l’unité près, on aurait aussi obtenu |183.|