La factorisation d’un monôme

1. Décomposer le coefficient en facteurs premiers.

2. Décomposer les variables.

3. Écrire le monôme sous la forme d’un produit de facteurs premiers.

Factorise le monôme |300x^3yz^2.|

1. Décomposer le coefficient en facteurs premiers
   Plusieurs techniques peuvent être utilisées pour la factorisation première. L’arbre des facteurs en est une.
   ||300=2\times 2\times 3\times 5\times 5||

2. Décomposer les variables 
   ||\color{#333FB1}{x^3}\color{#EC0000}{y}\color{#3A9A38}{z^2}=\color{#333FB1}{x}\times \color{#333FB1}{x}\times \color{#333FB1}{x}\times \color{#EC0000}{y}\times \color{#3A9A38}{z}\times \color{#3A9A38}{z}||

3. Écrire le monôme sous la forme d’un produit de facteurs premiers
   ||300x^3yz^2=2\times 2\times 3\times 5\times 5 \times x\times x\times x\times y\times z\times z||

Factoriser un monôme s’avère très utile lorsqu’on veut simplifier une fraction qui contient un monôme au numérateur et au dénominateur. Les mêmes étapes sont alors utilisées deux fois.

Simplifie la fraction |\dfrac{18a^4b^3c}{6a^3bc^2}.|

1. Décomposer les coefficients en facteurs premiers
   ||\begin{align}\color{#333FB1}{18}&=\color{#333FB1}{2}\times \color{#333FB1}{3}\times \color{#333FB1}{3}\\  \color{#333FB1}{6}&=\color{#333FB1}{2}\times \color{#333FB1}{3}\end{align}||

2. Décomposer les variables
   ||\begin{align}\color{#3A9A38}{a^4}\color{#EC0000}{b^3}\color{#FA7921}{c}&=\color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#FA7921}{c}\\ \color{#3A9A38}{a^3}\color{#EC0000}{b}\color{#FA7921}{c^2}&=\color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#FA7921}{c}\times \color{#FA7921}{c}\end{align}|| 

3. Écrire les monômes sous la forme d’un produit de facteurs premiers
   ||\dfrac{\color{#333FB1}{18}\color{#3A9A38}{a^4}\color{#EC0000}{b^3}\color{#FA7921}{c}}{\color{#333FB1}{6}\color{#3A9A38}{a^3}\color{#EC0000}{b}\color{#FA7921}{c^2}}=\dfrac{\color{#333FB1}{2}\times \color{#333FB1}{3}\times \color{#333FB1}{3}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#FA7921}{c}}{\color{#333FB1}{2}\times \color{#333FB1}{3}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#3A9A38}{a}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#FA7921}{c}\times \color{#FA7921}{c}}||

4. Réduire la fraction en éliminant les facteurs communs
   ||\begin{align} &\dfrac{\cancel{\color{#333FB1}{2}}\times \cancel{\color{#333FB1}{3}}\times \color{#333FB1}{3}\times \cancel{\color{#3A9A38}{a}}\times \cancel{\color{#3A9A38}{a}}\times \cancel{\color{#3A9A38}{a}}\times \color{#3A9A38}{a}\times \cancel{\color{#EC0000}{b}}\times \color{#EC0000}{b}\times \color{#EC0000}{b}\times \cancel{\color{#FA7921}{c}}}{\cancel{\color{#333FB1}{2}}\times \cancel{\color{#333FB1}{3}}\times \cancel{\color{#3A9A38}{a}}\times \cancel{\color{#3A9A38}{a}}\times \cancel{\color{#3A9A38}{a}}\times \cancel{\color{#EC0000}{b}}\times \cancel{\color{#FA7921}{c}}\times \color{#FA7921}{c}}\\&=\dfrac{\color{#333FB1}{3}\times \color{#3A9A38}{a} \times \color{#EC0000}{b}\times \color{#EC0000}{b}}{\color{#FA7921}{c}} \\&= \dfrac{3ab^2}{c} \end{align}||

La fraction |\dfrac{18a^4b^3c}{6a^3b}|, une fois simplifiée, est |\dfrac{3\times a \times b\times b}{c}| ou |\dfrac{3ab^2}{c}.|

Lorsqu’on simplifie une fraction qui comporte plus d’un terme au numérateur ou au dénominateur, on doit utiliser d’autres méthodes de factorisation. On dit alors qu’on effectue la simplification de fractions rationnelles.