Tracer une fonction rationnelle

La règle d'une fonction rationnelle sous la forme canonique est |f(x)=\dfrac{a}{b(x-h)}+k.|

On peut faire rapidement une esquisse du graphique en observant les paramètres |a,| |b,| |h| et |k.|

1. Le graphique d’une fonction rationnelle comprend 2 asymptotes :
   
   Une asymptote verticale à |x=h;|
   Une asymptote horizontale à |y=k.|

2. L’emplacement des 2 branches de la fonction est dictée par le signe des paramètres |a| et |b.|

Remarque : La courbe d’une fonction rationnelle, formée de 2 branches, est une hyperbole.

1. Trouver les équations des asymptotes en utilisant les paramètres |h| et |k.|

2. Trouver les coordonnées de quelques points.

3. Tracer les 2 asymptotes et situer les points trouvés dans le plan cartésien.

4. Tracer les 2 courbes qui passent par les points situés précédemment et qui se rapprochent des asymptotes sans y toucher.

Bien qu’ils n’existent pas toujours pour une fonction rationnelle, l’ordonnée à l’origine et le zéro de la fonction sont deux points remarquables qui sont intéressants à utiliser pour tracer un graphique.

Trace la fonction rationnelle suivante. ||f(x)=\dfrac{8}{2(x-5)}-4||

1. Trouver les équations des asymptotes en utilisant les paramètres |h| et |k|
   
   L'équation de l'asymptote verticale est donnée par |\color{#3b87cd}{x=h}|, donc |\color{#3b87cd}{x=5}.|
   L'équation de l'asymptote horizontale est donnée par |\color{#3a9a38}{y=k}|, donc |\color{#3a9a38}{y=-4}.|
    

2. Trouver les coordonnées de quelques points

Avec cette démarche, on peut trouver d'autres couples.

|\left(2,-\dfrac{16}{3}\right),| |(4,-8),| |(7,-2),| |(9,-3),| |\left(13,-\dfrac{7}{2}\right)|

Si on veut aussi trouver le zéro de la fonction, on remplace |f(x)| par |0| et on isole |x.| ||\begin{align} \color{#560fa5}{f(x)}&=\dfrac{8}{2(x-5)}-4 \\
\color{#560fa5}{0}&=\dfrac{8}{2(x-5)}-4\\
\color{#ff55c3}{4}&=\dfrac{8}{\color{#ff55c3}{2(x-5)}} \\
\color{#ff55c3}{2(x-5)}&=\dfrac{8}{\color{#ff55c3}{4}} \\
2(x-5)&=2 \\x-5 &= 1\\x &=6 \end{align}||On obtient le couple |(6,0).|

3. Tracer les 2 asymptotes et situer les points trouvés dans le plan cartésien

4. Tracer les 2 courbes qui passent par les points situés précédemment et qui se rapprochent des asymptotes sans y toucher

Trace la fonction rationnelle suivante. ||f(x) = \dfrac{4x-14}{x-3}||

1. Trouver les équations des asymptotes en utilisant les paramètres |h| et |k|
   Pour déterminer la valeur des paramètres |h| et |k,| il faut transformer la règle sous la forme canonique en effectuant la division. ||\begin{align} \begin{aligned} 4x&-14\\ -(4x&-12)\\ \hline &\; \color{#ec0000}{-\;2} \end{aligned} \begin{aligned} \quad\vert\! &\underline{\quad \color{#3b87cd}{x-3}\quad}\\ &\ \ \ \color{#3a9a38}{+4}\\ \ \end{aligned} \end{align}||On obtient la règle suivante.||f(x)=\dfrac{\color{#ec0000}{-2}}{\color{#3b87cd}{x-3}}\color{#3a9a38}{+4}||L'équation de l'asymptote verticale est donnée par |\color{#3b87cd}{x=h}|, donc |\color{#3b87cd}{x=3}.|
   L'équation de l'asymptote horizontale est donnée par |\color{#3a9a38}{y=k}|, donc |\color{#3a9a38}{y=4}.|

2. Trouver les coordonnées de quelques points
   
   Remarque : Pour calculer les coordonnées des points, on peut utiliser autant la règle sous la forme générale que sous la forme canonique.

Avec cette démarche, on peut trouver d’autres couples.

|(1,5),| |(2,6),| |(4,2),| |(5,3),| |\left(8,\dfrac{18}{5}\right)|

Si on veut aussi trouver le zéro de la fonction, on remplace |f(x)| par |0| et on isole |x.| ||\begin{align} f(x) &= \dfrac{4x-14}{x-3}\\ 0 &= \dfrac{4x-14}{x-3}\\ 0 &= 4x-14\\ 14 &= 4x \\ \dfrac{7}{2} &= x\end{align}||On obtient le couple |\left(\dfrac{7}{2},0\right).|

3. Tracer les 2 asymptotes et situer les points trouvés dans le plan cartésien
    

4. Tracer les 2 courbes qui passent par les points situés précédemment et qui se rapprochent des asymptotes sans y toucher