Trouver la règle d'une fonction rationnelle

Pour trouver la règle d’une fonction rationnelle, il faut toujours utiliser l’équation sous la forme canonique simplifiée, c'est-à-dire |f(x)=\dfrac{a}{x-h}+k.|

On trouve la règle d’une fonction rationnelle en suivant ces 4 étapes.

1. Déterminer la valeur de |h| grâce à l’asymptote verticale.

2. Déterminer la valeur de |k| grâce à l’asymptote horizontale.

3. Substituer dans la règle les valeurs de |h| et |k| ainsi que les coordonnées d'un point |(x,y)| de la courbe.

4. Isoler |a.|

Détermine la règle de la fonction rationnelle suivante.

1. Déterminer la valeur de |h| grâce à l’asymptote verticale
   La règle de l’asymptote verticale est |\color{#333fb1}{x=-10},| donc |\color{#333fb1}{h=-10}.|

2. Déterminer la valeur de |k| grâce à l’asymptote horizontale
   La règle de l’asymptote horizontale est |\color{#3a9a38}{y=40},| donc |\color{#3a9a38}{k=40}.|

3. Substituer dans la règle les valeurs de |h| et |k| ainsi que les coordonnées d'un point |(x,y)| de la courbe ||\begin{align} f(x) &= \dfrac{a}{x - \color{#333fb1}h} + \color{#3a9a38}k \\ \color{#560fa5}{f(x)} &= \dfrac{a}{\color{#560fa5}x - \color{#333fb1}{-10}} + \color{#3a9a38}{40} \\ \color{#560fa5}{30} &= \dfrac{a}{\color{#560fa5}{15}+10} + 40 \end{align}||

4. Isoler |a| ||\begin{align} 30 &= \dfrac{a}{25}+40 \\ 30 \color{#ec0000}{-40} &= \dfrac{a}{25}+40 \color{#ec0000}{-40} \\ -10 &=\dfrac{a}{25} \\ -10 \color{#ec0000}{\times 25} &=\dfrac{a}{25} \color{#ec0000}{\times 25} \\ -250 &= a \end{align}||

Réponse : La règle de la fonction rationnelle représentée dans le graphique est |f(x)=\dfrac{-250}{x+10}+40.|

Si les équations des asymptotes ne sont pas connues, mais que le point d’intersection des 2 asymptotes l’est, on est en mesure de faire les 2 premières étapes en même temps. En effet, les coordonnées du point de rencontre des asymptotes sont |(h,k).|

Trouve la règle de la fonction rationnelle qui possède les caractéristiques suivantes :

• Les coordonnées du point de rencontre des asymptotes sont |(5, -3).|

• La courbe passe par le point |(7, -2).|

Puisqu’on a les coordonnées du point de rencontre des asymptotes, on peut faire les étapes 1 et 2 en même temps.

1. Déterminer la valeur de |h| grâce à l’asymptote verticale

2. Déterminer la valeur de |k| grâce à l’asymptote horizontale

   Le point d’intersection des asymptotes donne la règle de chacune des asymptotes. ||(\color{#333fb1}5,\color{#3a9a38}{-3})\ \Leftrightarrow\ \begin{cases} \color{#333fb1}{x = 5} \\ \color{#3a9a38}{y = -3} \end{cases}||Les valeurs des asymptotes correspondent aux valeurs des paramètres |h| et |k| de l’équation, donc |\color{#333fb1}{h=5}| et |\color{#3a9a38}{k=-3}.|

3. Substituer dans la règle les valeurs de |h| et |k| ainsi que les coordonnées d'un point |(x,y)| de la courbe ||\begin{align} f(x) &= \dfrac{a}{x - \color{#333fb1}h} + \color{#3a9a38}k \\ \color{#560fa5}{f(x)} &= \dfrac{a}{\color{#560fa5}x - \color{#333fb1}5} + \color{#3a9a38}{-3} \\ \color{#560fa5}{-2} &= \dfrac{a}{\color{#560fa5}{7}-5}-3\end{align}||

4. Isoler |a| ||\begin{align} -2 &= \dfrac{a}{2}-3 \\ 1 &=\dfrac{a}{2} \\ 2 &= a \end{align}||

Réponse : La règle de cette fonction est |f(x)=\dfrac{2}{x-5}-3.|

Il est possible qu’on demande de trouver la règle d’une fonction rationnelle sous la forme générale, aussi appelée la forme P/Q, plutôt que sous la forme canonique. Pour y arriver, il faut tout de même commencer par trouver la règle sous la forme canonique. Lorsque c’est fait, il ne reste qu’à faire le passage de la forme canonique à la forme P/Q.