Le dénominateur commun - Secondaire 1, 2 et 3

1. Trouver le PPCM des dénominateurs des fractions avec la méthode de la liste des multiples ou avec la méthode de l'arbre des facteurs.
2. Trouver les fractions équivalentes en utilisant le dénominateur commun.

Avec 2 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces deux fractions:
||\frac{1}{12} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{8}||
1. Faire la liste des multiples de chaque dénominateur
Multiples de |12=\{12,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{blue}{2^e \ \text{multiple}},36,48,...\}|

Multiples de |8=\{8,16,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{green}{3^e \ \text{multiple}}​,32,40,...\}|

2. Trouver les fractions équivalentes
||\frac{1}{12}^\color{blue}{\times 2}_\color{blue}{\times 2}​ = \frac{2}{\color{red}{24}} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{8}^\color{green}{\times 3}_\color{green}{\times 3}​ = \frac{15}{\color{red}{24}}||

Avec 3 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces trois fractions:
||\frac{1}{4} \qquad \frac{2}{3} \qquad \frac{3}{8}||
1. Faire la liste des multiples de chaque dénominateur
Multiples de |4=\{4,8,12,16,20,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{blue}{6^e \ \text{multiple}}​,28,...\}|

Multiples de |3=\{3,6,9,12,15,18,21,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{fuchsia}{8^e \ \text{multiple}},27,...\}|

Multiples de |8=\{8,16,\underbrace{\color{red}{24}}_\color{green}{3^e \ \text{multiple}}​,32,40,...\}|

2. Trouver les fractions équivalentes
||\frac{1}{4}^\color{blue}{\times 6}_\color{blue}{\times 6} = \frac{6}{\color{red}{24}}\  \qquad \frac{2}{3}^\color{fuchsia}{\times 8}_\color{fuchsia}{\times 8} = \frac{16}{\color{red}{24}}\  \qquad \frac{3}{8}^\color{green}{\times 3}_\color{green}{\times 3}​ = \frac{9}{\color{red}{24}}||

Pour déterminer le nombre par lequel il faut multiplier le numérateur et le dénominateur afin d'obtenir la fraction équivalente, on peut se référer au rang du multiple commun pour chacun des dénominateurs.​​

Avec 2 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces deux fractions:
||\frac{7}{12} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{9}||
1. Trouver le PPCM selon l'arbre des facteurs de chacun des dénominateurs
En effectuant l'arbre des facteurs pour les deux dénominateurs, on obtient les factorisations premières suivantes. ||12=\color{blue}{2} \times \color{green}{2} \times \color{fuchsia}{3}\qquad \qquad 9=\color{fuchsia}{3} \times \color{orange}{3}||
Pour déterminer le PPCM, on peut multiplier tous les facteurs premiers qui sont différents avec un seul exemplaire de ceux qui sont identiques, comme ceci:||\begin{align}\text{PPCM}\{9,12\}&= \underbrace{\color{blue}{2}\times \color{green}{2} \times \color{fuchsia}{3}}_{\text{facteurs de}\ 12} \times \underbrace{\not\color{fuchsia}{3} \times \color{orange}{3}}_{\text{facteurs de} \ 9} \\​
&= \color{blue}{2}\times \color{green}{2} \times \color{fuchsia}{3} \times \color{orange}{3} \\ \\
&= \color{red}{36}\end{align}||2. Trouver les fractions équivalentes
||\frac{7}{12}^{\color{orange}{\times 3}}_{\color{orange}{\times 3}} = \frac{21}{\color{red}{36}} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{9}^{\color{blue}{\times 2}\color{green}{\times 2}}_{\color{blue}{\times 2}\color{green}{\times 2}} = \frac{20}{\color{red}{36}}||

Avec 3 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces trois fractions:
||\frac{1}{10} \qquad \frac{3}{8} \qquad \frac{5}{6}||
1. Trouver le PPCM selon l'arbre des facteurs de chacun des dénominateurs
En effectuant l'arbre des facteurs pour les trois dénominateurs, on obtient les factorisations premières suivantes.||10=\color{blue}{2} \times \color{green}{5}\qquad \qquad 8=\color{blue}{2} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2}\qquad \qquad 6=\color{blue}{2} \times \color{purple}{3}||Pour déterminer le PPCM, on multiplie tous les facteurs premiers qui sont différents avec un seul exemplaire de ceux qui sont identiques. ||\begin{align} \text{PPCM}\{6,8,10\} &= \underbrace{\color{blue}{2} \times \color{green}{5}}_{\text{facteurs de}\ 10} \times \underbrace{\not\color{blue}{2} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2}}_{\text{facteurs de} \ 8}\times \underbrace{\not\color{blue}{2} \times \color{purple}{3}}_{\text{facteurs de} \ 6} \\
&= \color{blue}{2} \times \color{green}{5} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2} \times \color{purple}{3} \\ \\
&= \color{red}{120}\end{align}||
2. Trouver les fractions équivalentes
||\frac{1}{10}^{\color{fuchsia}{\times 2}\color{orange}{\times 2}\color{purple}{\times 3}}_{\color{fuchsia}{\times 2}\color{orange}{\times 2}\color{purple}{\times 3}} = \frac{12}{\color{red}{120}} \qquad \  \frac{3}{8}^{\color{green}{\times 5}\color{purple}{\times 3}}_{\color{green}{\times 5}\color{purple}{\times 3}} ​= \frac{45}{\color{red}{120}} \qquad \  \frac{5}{6}^{\color{green}{\times 5}\color{fuchsia}{\times 2}\color{orange}{\times 2}}_{\color{green}{\times 5}\color{fuchsia}{\times 2}\color{orange}{\times 2}​} = \frac{100}{\color{red}{120}}||

Dans l'exemple ci-haut, pour déterminer le nombre par lequel on doit multiplier le numérateur et le dénominateur pour la fraction dont le dénominateur est |\small 10|, on utilise les facteurs du PPCM sans les facteurs de |\small 10| :
||\begin{align}\text{Dénominateur commun} &= \color{blue}{2} \times \color{green}{5} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2} \times \color{purple}{3}\\
\text{Facteurs de} \ 10 &= \color{blue}{2} \times \color{green}{5}​\end{align}||
Le nombre par lequel on doit multiplier le numérateur et le dénominateur est donc:
||\underbrace{\not\color{blue}{2} \times \not\color{green}{5}}_{\text{facteurs de} \ 10} \times \color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2} \times \color{purple}{3}=\color{fuchsia}{2} \times \color{orange}{2} \times \color{purple}{3}||
Par la suite, on répète le même raisonnement pour toutes les autres fractions.

Avec 2 fractions
Trouve un dénominateur commun à ces deux fractions:
||\frac{1}{\color{green}{12}} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{\color{blue}{8}}||
En multipliant |\color{green}{12}| et |\color{blue}{8}| on obtient un dénominateur commun qui est |\color{red}{96}|.
Ainsi, 
||\frac{1}{12}^\color{blue}{\times 8}_\color{blue}{\times 8} = \frac{8}{\color{red}{96}} \qquad \text{et} \qquad \frac{5}{8}^\color{green}{\times 12}_\color{green}{\times 12}​ = \frac{60}{\color{red}{96}}||

Avec 3 fractions
Transforme ces trois fractions sous un même dénominateur:
||\frac{1}{\color{blue}{4}} \qquad\  \frac{2}{\color{green}{3}} \qquad\  \frac{7}{\color{fuchsia}{9}}||
En multipliant |\color{blue}{4},\color{green}{3} \ \text{et} \ \color{fuchsia}{9}|, on obtient un dénominateur commun qui est |\color{red}{108}|.
Ainsi, 
||\frac{1}{4​}^{\color{green}{\times 3}\color{fuchsia}{\times 9}}_{\color{green}{\times 3}\color{fuchsia}{\times 9}} = \frac{27}{\color{red}{108}} \qquad \  \frac{2}{3}^{\color{blue}{\times 4}\color{fuchsia}{ \times 9}}_{\color{blue}{\times 4}\color{fuchsia}{ \times 9}} = \frac{72}{\color{red}{108}} \qquad\  \frac{7}{9}^{\color{blue}{\times 4}\color{green}{\times 3}}_{\color{blue}{\times 4}\color{green}{\times 3}}​​ = \frac{84}{\color{red}{108}}||