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Le dénominateur commun - Secondaire 4
Fiche | Mathématiques
Table des matières
Lorsque l'on travaille avec des fractions, il est parfois plus pratique de mettre toutes les fractions sur le même dénominateur. En effet, trouver un dénominateur commun s'avère important lorsque l'on veut comparer des fractions, ordonner des fractions ou effectuer des opérations mathématiques comme l'addition et la soustraction de fractions. Dans chacun des cas, on fait référence à un dénominateur commun. Voici quelques méthodes permettant de trouver un dénominateur commun pour deux fractions ou plus.
Avec des fractions rationnelles
Lorsque les dénominateurs des fractions sont des expressions algébriques, la méthode pour déterminer un dénominateur commun est très similaire à celle de l'arbre des facteurs présentée plus haut.
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Factoriser et réduire chacune des fractions.
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Déterminer le dénominateur commun.
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Trouver les fractions équivalentes
De par sa similarité avec l'arbre des facteurs, on peut déduire qu'il y a une emphase qui est mise vers la factorisation. Ainsi, il est essentiel de maîtriser les différentes méthodes de factorisation d'un polynôme.
Quel est le dénominateur commun des fractions suivantes:
||\frac{3x^2+6x}{x^2+5x+6} \ \ \text{et} \ \ \frac{2x-6}{6x^2+36x+54}||
1. Factoriser et réduire chacune des fractions
||\begin{align} \small \frac{\color{blue}{3x^2+6x}}{\color{red}{x^2+5x+6}} &\Rightarrow \small \color{blue}{3x^2 + 6x} &&&& \small\color{red}{x^2+5x+6} \\
&= \small \color{blue}{3x(x+2)} && \small \text{mise en évidence} && \small\color{red}{(x+3)(x+2)} && \small \text{somme-produit}\\
\small \frac{\color{blue}{3x^2+6x}}{\color{red}{x^2+5x+6}} &= \small \frac{\color{blue}{3x (x+2)}}{\color{red}{(x+3)(x+2)}} \\
&= \small \frac{\color{blue}{3x}}{\color{red}{(x+3)}} && \small \text{simplification}\\\\
\small \frac{\color{green}{2x-6}}{\color{orange}{6x^2+36x+54}} &\Rightarrow \small \color{green}{2x-6} &&&& \small\color{orange}{6x^2+36x+54} \\
&= \small \color{green}{2(x-3)} && \small \text{mise en évidence} && \small\color{orange}{6(x^2+6x+9)} && \small \text{mise en évidence}\\
&&&&& \small \color{orange}{6(x+3)(x+3)} && \small \text{carré parfait}\\
\small \frac{\color{green}{2x-6}}{\color{orange}{6x^2+36x+54}} &= \small \frac{\color{green}{2(x-3)}}{\color{orange}{6(x+3)(x+3)}} \\
&= \small \frac{\color{green}{(x-3)}}{\color{orange}{3(x+3)(x+3)}} && \small \text{simplification} \end{align}||
2. Déterminer le dénominateur commun
Pour cette étape, on doit s'assurer que chaque élément de chacun des dénominateurs se retrouvent dans le dénominateur commun. Si une partie du premier dénominateur est identique ("jumeaux") à une partie du deuxième dénominateur, on ne conserve qu'un exemplaire de ces "jumeaux".
||\begin{align} \small\text{dénominateur} &= \small \color{red}{(x+3)} && \small\text{et} && \small \color{orange}{3(x+3)(x+3)} \\
\small \text{dénominateur commun} &= \small \underbrace{\color{red}{(x+3)}}_{\small\text{jumeaux}} \ \color{orange}{3} \ \underbrace{\color{orange}{(x+3)}}_{\small\text{jumeaux}} \ \color{orange}{(x+3)} && \small \text{mise en commun des dénominateurs}\\
&= \small\underbrace{\color{red}{(x+3)}}_{\small\text{1 exemplaire}}\ \small\color{orange}{3} \phantom{(x+3)} \color{orange}{(x+3)} && \small \text{élimine un des "jumeaux"} \\
&= \small 3 \ (x+3) \ (x+3) && \small \text{dénominateur commun} \end{align}||
3. Trouver les fractions équivalentes
Finalement, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs des fractions initiales par les éléments manquants du dénominateur commun |\small 3 \ (x+3) \ (x+3)|.
||\begin{align} \small \frac{\color{blue}{3x}}{\color{red}{(x+3)}} &\Rightarrow \small\frac{\color{blue}{3x}}{\underbrace{\color{red}{(x+3)}}_{\small\text{initiale}}}\cdot \frac{3(x+3)}{\underbrace{3 \ (x+3)}_{\small\text{manquantes}}} && \small\underbrace{\phantom{(}3\phantom}_{\small\text{manquante}}\small\underbrace{(x+3)}_{\small\text{commune}}\ \ \small\underbrace{(x+3)}_{\small\text{manquante}} \\
&= \small\frac{9x^2+27x}{3 (x+3)(x+3)} \\\\
\small \frac{\color{green}{(x-3)}}{\color{orange}{3(x+3)(x+3)}} &\Rightarrow \small \frac{\color{green}{(x-3)}}{\underbrace{\color{orange}{3 \ (x+3) \ (x+3)}}_{\small\text{initiale}}} \cdot \underbrace{\phantom{\frac{(\small\text{rien})}{(\small\text{rien})}}}_{\small\text{manquante}} && \small\underbrace{3 \ (x+3) \ (x+3)}_{\small\text{communes}} \\
&=\small \frac{(x-3)}{3\ (x+3)\ (x+3)} \end{align}||
Puisque la deuxième fraction initiale n'a aucun élément manquant, elle demeure inchangée.
Ainsi,
||\begin{align} \small \frac{3x^2+6x}{x^2+5x+6}&&& \text{et} && \small \frac{2x-6}{6x^2+36x+54} \\\\
\Rightarrow \small\frac{9x^2+27x}{3 (x+3)(x+3)} &&& \text{et} && \small \frac{(x-3)}{3(x+3)(x+3)} \end{align}||
Maintenant que les deux fractions ont un dénominateur commun, on pourrait les additionner ou les soustraire.
Pour valider ta compréhension des fractions de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante :
