Le rôle des paramètres dans une fonction en escalier (partie entière)

Lorsqu’on ajoute les paramètres |a,| |b,| |h| et |k| à la forme de base |f(x)=[x],| on obtient ce qu'on appelle la forme canonique (aussi appelée forme transformée) de la fonction en escalier.

Dans l'animation interactive suivante, tu peux modifier les paramètres |a|, |b|, |h| et |k| de la fonction partie entière. Observe bien les modifications qui s'opèrent sur la courbe transformée (en vert) par rapport à la fonction de base (en noir). Tu peux même en profiter pour analyser les propriétés de la fonction. Par la suite, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour avoir toutes les précisions sur chacun des paramètres.

Lorsque |{\mid}a{\mid} >1| :

Plus la valeur absolue du paramètre |a| est grande, plus la distance entre les marches de l’escalier est grande. La courbe de la fonction s'allonge verticalement par rapport à la fonction de base.

Lorsque |0< {\mid}a{\mid} <1| :

Plus la valeur absolue du paramètre |a| est petite (près de 0), plus la distance entre les marches de l’escalier est petite. La courbe de la fonction se rapproche de l'axe des |x.|

Réflexion par rapport à l'axe des |x|

Le paramètre |a| est aussi responsable de l’orientation du graphique de la fonction en escalier.
Lorsque |a| change de signe, l'escalier subit une réflexion par rapport à l’axe des |x.|

Lorsque |{\mid}b{\mid} >1| :

Si la valeur absolue de |b| augmente, alors la longueur des segments (les marches) devient plus petite. L'escalier se contracte horizontalement par rapport à celui de la fonction de base.

Lorsque |0< {\mid}b{\mid} <1| :

La longueur des segments est allongée d'un facteur |\frac{1}{b}| par rapport à la fonction de base. L'escalier s'allonge horizontalement. Plus la valeur absolue de |b| est petite (près de zéro), plus la longueur des segments (les marches) est grande.

Le paramètre |b| est aussi responsable de l’orientation du graphique de la fonction en escalier. Lorsque |b| change de signe, l'escalier subit une réflexion par rapport à l’axe des |y.|

Lorsque |b| est positif |(b>0)| :

Chaque segment a un point fermé à gauche et un point ouvert à droite.

Lorsque |b| est négatif |(b<0)| :

Chaque segment a un point ouvert à gauche et un point fermé à droite.

Lorsque |h| est positif |(h>0)| :

L'escalier se déplace vers la droite.

Lorsque |h| est négatif |(h<0)| :

L'escalier se déplace vers la gauche.

Lorsque |k| est positif |(k>0)| :

L'escalier se déplace vers le haut.

Lorsque |k| est négatif |(k<0)| :

L'escalier se déplace vers le bas.

Il est utile de noter qu'on peut exprimer la pente de l’escalier de la façon suivante :