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La fonction en escalier (partie entière)
Fiche | Mathématiques
Secondaire
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Table des matières
Voici quelques généralités quant à la fonction en escalier :
Pour des informations supplémentaires, vous pouvez consulter les fiches suivantes :
- Le rôle des paramètres dans une fonction en escalier (partie entière)
- Tracer une fonction en escalier (partie entière)
- Trouver la règle d'une fonction en escalier (partie entière)
- Les propriétés de la fonction en escalier (partie entière)
- Résoudre une équation partie entière
- La résolution de problèmes impliquant la fonction en escalier (partie entière)
- La réciproque de la fonction en escalier (partie entière)
La fonction en escalier
On appelle fonction en escalier une fonction qui est constante sur des intervalles. Elle est formée de plateaux qui sont appelés marches et la distance entre les plateaux est appelée contremarche.
Une fonction en escalier n'a pas toujours des marches de la même longueur. Il en est de même pour les contremarches.
Voici un exemple de graphique d'une fonction en escalier :
Pour valider ta compréhension à propos de la résolution graphique de fonctions en escalier, périodiques et définies par parties de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
Pour valider ta compréhension à propos de la résolution de problèmes impliquant la fonction partie entière de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
La fonction en escalier (partie entière)
Il serait à propos de définir ce à quoi correspond la partie entière d'un nombre.
La partie entière d'un nombre, notée |[x],| correspond à l'unique nombre entier tel que |[x] \leq x < [x] +1.|
On appelle aussi ce symbole le plus grand entier inférieur ou égal à |x.| Les deux appellations sont des synonymes.
Remarque : Si |[x]=a| où |a| doit être un nombre entier, alors |a \leq x < a+1.| Donc, |x| appartient à l'intervalle |[a,a+1[.|
|[2{,}3]=2,| on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à |2{,}3.| De plus, |2 \leq 2{,}3 < 3.|
|[-2{,}3]=-3,| on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à |-2{,}3.| De plus, |-3 \leq -2{,}3 < -2.|
|[45]=45|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à |45.| De plus, |45 \leq 45 < 46.|
La fonction partie entière est un forme particulière de la fonction en escalier.
La fonction partie entière de base est une fonction |f,| telle que pour tout nombre réel |x,| |f(x)| est le plus grand entier inférieur ou égal à |x.|
L'équation de la fonction partie entière sous sa forme de base est la suivante.||f(x)=[x]||Dans cette fonction, les marches ont toutes la même mesure et les contremarches ont toutes la même mesure également, c'est-à-dire |1.|
À partir de maintenant, l'appellation fonction en escalier fera référence à l'usage de la fonction partie entière.
Voici le graphique de la fonction en escalier de base avec sa table de valeurs.
| |x| | |y| |
|---|---|
| |[-5,-4[| | |-5| |
| |[-4,-3[| | |-4| |
| |[-3,-2[| | |-3| |
| |[-2,-1[| | |-2| |
| |[-1,0[| | |-1| |
| |[0,1[| | |0| |
| |[1,2[| | |1| |
| |[2,3[| | |2| |
| |[3,4[| | |3| |
| |[4,5[| | |4| |
| |[5,6[| | |5| |
Les points vides ne font pas partie de la fonction. En effet, |[-1] \neq -2,| mais plutôt |[-1]=-1.| Donc, il est normal que le point |(-1,-2)| soit vide et que le point |(-1,-1)| soit plein.
Il est important de comprendre que, pour une même valeur de |f(x),| les valeurs de |x| correspondent à un intervalle qui a une extrémité fermée (point plein) et une extrémité ouverte (point vide). Tous les |x| de cet intervalle ont le même |f(x).| Cela donne lieu à un plateau, d'où l'appellation de marche.