Le « tant pour cent » et le « cent pour cent »
Secondaire 1-2
Pour résoudre une situation de variation directe dans laquelle des pourcentages sont impliqués, on peut utiliser, selon le contexte, l'une ou l'autre des stratégies suivantes :
Le calcul du « tant pour cent » d'un nombre
Le calcul du tant pour cent d'un nombre consiste à trouver le nombre qui correspond à un certain pourcentage.
Ce calcul revient à trouver le terme manquant dans une proportion dont l'un des rapports a un dénominateur de |100|. En d'autres mots, on cherche à quelle portion d'un ensemble correspond un certain pourcentage. Plusieurs méthodes permettent d'effectuer le calcul du « tant pour cent » d'un nombre. En voici deux.
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Méthode 1 : La multiplication par le pourcentage
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Méthode 2 : Le produit croisé
Méthode 1 : La multiplication par le pourcentage
Pour effectuer cette méthode avec succès, il convient de bien savoir comment exprimer un pourcentage en notation décimale.
Règle
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Exprimer le pourcentage en notation décimale.
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Multiplier le pourcentage en notation décimale par le nombre dont on cherche le « tant pour cent ».
Lors d'un sondage, |30\ \%| des élèves d'une école secondaire de |1\ 500| élèves considèrent que le menu de la cafétéria doit être changé.
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Exprimer le pourcentage en notation décimale||30\ \%=\dfrac{30}{100}=0{,}3||
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Multiplier le pourcentage en notation décimale par le nombre dont on cherche le « tant pour cent ».||0{,}3\times 1\ 500=450||
Il y a donc |450| élèves qui considèrent que le menu de la cafétéria doit être changé.
Méthode 2 : Le produit croisé
Cette méthode découle de la propriété fondamentale des proportions. Il est à noter que l'on peut aussi utiliser n'importe quelle méthode permettant de résoudre une situation directement proportionnelle pour calculer le « tant pour cent » d'un nombre. Cependant, on privilégie souvent la méthode du produit croisé lorsqu'il est question de pourcentages.
Règle
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Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente le pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au numérateur.
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Calculer le « tant pour cent » à l'aide du produit croisé ou de la méthode de son choix.
Dans une classe de |32| élèves, |75\ \%| sont des garçons. Combien y a-t-il de garçons dans le groupe?
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Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente le pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au numérateur.||\dfrac{?\ \text{élèves}}{32\ \text{élèves}}=\dfrac{75}{100}||
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Calculer le « tant pour cent » à l'aide du produit croisé.||\begin{align}?\times 100&=32\times 75\\[4pt] ?&=\dfrac{32\times 75}{100}\\[4pt] ?&=24\end{align}||
Il y a donc |24| garçons dans le groupe de |32| élèves.
Le calcul du « cent pour cent » d'un nombre
Le calcul du cent pour cent d'un nombre consiste à trouver la valeur représentant le |100\ \%| d'un ensemble ou d'une quantité.
Ce calcul s'effectuera à l'aide du nombre connu et du pourcentage auquel il correspond.
Le produit croisé est la méthode privilégié pour calculer le « cent pour cent », mais il est possible d'effectuer ce calcul à l'aide de n'importe quelle méthode permettant de résoudre une situation directement proportionnelle.
Règle
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Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente un pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au dénominateur (le « cent pour cent »).
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Calculer le « cent pour cent » à l'aide du produit croisé ou de la méthode de son choix.
Sur un bateau de croisière, |64\ \%| des personnes parlent l'anglais. Sachant que ce pourcentage correspond à |800| personnes, combien y a-t-il de vacanciers sur le navire?
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Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente un pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au dénominateur (le « cent pour cent »).
On sait que |\color{#3b87cd}{64}\ \%| représente |\color{#3b87cd}{800}| personnes. ||\dfrac{\color{#3b87cd}{64}}{100}=\dfrac{\color{#3b87cd}{800}\ \text{personnes}}{?\ \text{personnes}}|| -
Calculer le « cent pour cent » à l'aide du produit croisé ou de la méthode de son choix.||\begin{align}64\,\times\, ?&=100\times 800\\[4pt] ?&=\frac{100\times 800}{64}\\[4pt] ?&=1\ 250\end{align}||
Il y a donc |1\ 250| vacanciers sur le bateau de croisière.
Normand projette d'allonger le quai de son chalet de |20\ \%| cet été. Le quai fera alors |8{,}4| mètres de long.
Quelle est la longueur actuelle du quai de Normand?
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Traduire la situation par une proportion dont l'un des rapports représente un pourcentage et dont l'autre contient un terme manquant au dénominateur (le « cent pour cent »).
Comme Normand allonge le quai de |20\: \%,| le pourcentage représentant le quai allongé est de |100\: \% +20\: \% = \color{#3b87cd}{120\:\%}|. On sait donc que |\color{#3b87cd}{120\:\%}| correspond à |\color{#3b87cd}{8{,}4}\:\text{m}.| ||\dfrac{\color{#3b87cd}{120}}{100} = \dfrac{\color{#3b87cd}{8{,}4}\:\text{m}}{?\:\text{m}}|| -
Calculer le « cent pour cent » à l'aide du produit croisé ou de la méthode de son choix.||\begin{align}120\,\times\, ?&=100\times 8{,}4\\[4pt] ?&=\frac{100\times 8{,}4}{120}\\[4pt] ?&=7\end{align}||
La longueur actuelle du quai de Normand est donc de |7| mètres.