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Les conditions minimales d'isométrie des triangles
Fiche | Mathématiques
Secondaire
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Lorsqu’on compare des polygones, on peut déterminer qu’il s’agit de figures isométriques en vérifiant s’ils possèdent des angles homologues et des côtés homologues isométriques. C’est la même chose pour les triangles. Heureusement, pour prouver l’isométrie de triangles, il n’est pas nécessaire de connaitre la mesure de tous les côtés et de tous les angles. Il suffit de vérifier que certaines conditions minimales sont respectées. C’est ce qu’on appelle les cas d’isométrie des triangles.
Les conditions minimales d’isométrie des triangles permettent de démontrer que des triangles sont isométriques en utilisant le moins d'arguments possible.
Il existe 3 cas d’isométrie dans les triangles. Il existe aussi des cas de similitude des triangles. On utilise le cas le plus approprié selon les informations fournies dans le problème et on organise notre démarche dans un tableau d’affirmations et de justifications.
Les 3 cas d’isométrie des triangles
On peut expliquer pourquoi les conditions minimales sont suffisantes pour affirmer que des triangles sont isométriques en s’intéressant à la construction des triangles en question.
Cas de congruence des triangles
CCC : Côté-Côté-Côté
Des triangles sont isométriques si et seulement si leurs côtés homologues sont isométriques.
La condition CCC (Côté-Côté-Côté) n’implique aucune mesure d’angle. En effet, il suffit de montrer que les 3 paires de côtés homologues ont la même mesure pour conclure que les triangles sont isométriques.
Démontre que les triangles |ABC| et |GFE| suivants sont isométriques.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
|
1 |
Les segments |\overline{AC}| et |\overline{EG}| sont isométriques.||\overline{AC} \cong\overline{EG}|| |
C |
Par hypothèse. |
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2 |
Les segments |\overline{AB}| et |\overline{FG}| sont isométriques.||\overline{AB} \cong\overline{FG}|| |
C |
Par hypothèse. |
|
3 |
Les segments |\overline{BC}| et |\overline{EF}| sont isométriques. |
C |
Par hypothèse. |
|
4 |
Les triangles |ABC| et |GFE| sont isométriques. |
Ils respectent la condition minimale CCC : des triangles sont isométriques si et seulement si leurs côtés homologues sont isométriques. |
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Avant de commencer une démonstration d’isométrie, il est important de bien identifier les paires de côtés homologues. Dans l’exemple précédent, c'est une rotation qui associe les 2 triangles. Les segments |\overline{AC}| et |\overline{GE}| sont homologues, car chaque segment est le plus petit côté de son triangle. On applique le même raisonnement pour les 2 autres paires de côtés homologues.
CAC : Côté-Angle-Côté
Des triangles sont isométriques si et seulement s’ils ont une paire d’angles isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues isométriques.
Démontre que les triangles |ABC| et |GFE| suivants sont isométriques.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
|
1 |
Les segments |\overline{AB}| et |\overline{FG}| sont isométriques.||\overline{AB} \cong\overline{FG}|| |
C |
Par hypothèse. |
|
2 |
Les angles |ABC| et |GFE| sont isométriques.||\angle{ABC} \cong \angle{GFE}|| |
A |
Par hypothèse. |
|
3 |
Les segments |\overline{BC}| et |\overline{EF}| sont isométriques.||\overline{BC} \cong \overline{EF}|| |
C |
Par hypothèse. |
|
4 |
Les triangles |ABC| et |GFE| sont isométriques.||\triangle ABC \cong \triangle GFE|| |
Ils respectent la condition minimale CAC : des triangles sont isométriques s’ils ont une paire d’angles isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues isométriques. |
|
L'angle choisi doit être formé par les paires de côtés homologues analysées. Si l'angle n'est pas au bon endroit, les 2 triangles ne sont pas nécessairement isométriques.
Par exemple, sur l’image ci-dessus, |\angle{ABC}| et |\angle{EFG}| ont la même mesure. Par contre, l’angle |ABC| est situé entres des côtés de |2{,}72| et de |3{,}50\ \text{cm},| tandis que l’angle |EFG| est situé entre des côtés de |4{,}17| et de |3{,}50\ \text{cm}.| Les 2 triangles ne sont donc pas isométriques.||\triangle ABC\color{#ec0000}\not\cong\triangle EFG||
ACA : Angle-Côté-Angle
Des triangles sont isométriques si et seulement s’ils ont une paire de côtés isométriques compris entre 2 paires d’angles homologues isométriques.
Démontre que les triangles |ABC| et |DFE| suivants sont isométriques.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
|
1 |
Les angles |BAC| et |EDF| sont isométriques.||\angle{BAC} \cong \angle{EDF}|| |
A |
Par hypothèse. |
|
2 |
Les segments |\overline{AC}| et |\overline{DE}| sont isométriques.||\overline{AC} \cong \overline{DE}|| |
C |
Par hypothèse. |
|
3 |
Les angles |ACB| et |DEF| sont isométriques.||\angle{ACB} \cong \angle{DEF}|| |
A |
Par hypothèse. |
|
4 |
Les triangles |ABC| et |DEF| sont isométriques.||\triangle ABC \cong \triangle DEF|| |
Ils respectent la condition minimale ACA : des triangles sont isométriques s’ils ont une paire de côtés isométriques compris entre 2 paires d’angles homologues isométriques. |
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La position des paires de côtés homologues et d'angles homologues dans les triangles est essentielle. Si la paire de côtés homologues ne se situe pas entre les 2 paires d'angles homologues, alors les 2 triangles ne sont pas nécessairement isométriques.
Par exemple, dans le triangle |ABC,| le côté qui mesure |4{,}17\ \text{cm}| n'est pas compris entre les angles de |40{,}4^\circ| et de |56{,}4^\circ,| alors que c'est le cas dans le triangle |DEF.| Les triangles |ABC| et |DEF| ne sont donc pas isométriques.||\triangle ABC\color{#ec0000}\not\cong\triangle DEF||
La résolution de problèmes à l’aide des conditions minimales d’isométrie
Il est possible d’utiliser les conditions minimales d’isométrie des triangles ainsi que les propriétés des quadrilatères pour compléter des démonstrations.
Le quadrilatère |ABCD| suivant est un rectangle.
Démontre que les triangles |ABC| et |CDA| sont isométriques.
Voir la solution
Le quadrilatère |ABCD| suivant est un parallélogramme. |M| est le point d’intersection des 2 diagonales |\overline{BD}| et |\overline{AC}.|
Démontre que les triangles |BCM| et |DAM| sont isométriques.
Voir la solution
Après avoir prouvé que des triangles sont isométriques, on peut trouver des mesures manquantes sur l’un ou l’autre des triangles. Voici un exemple où on se sert des conditions minimales pour trouver une mesure manquante.
Il faut d’abord prouver que les triangles sont isométriques avec les informations fournies dans le problème avant de calculer des mesures manquantes.
Trouve la mesure de |\overline{AD}| sachant que |\overline{AC}| est la bissectrice de l’angle |DAB.|
Voir la solution
Voici un exemple où on se sert des conditions minimales d’isométrie pour compléter une démonstration.
Sur la figure |ABCD| suivante, |\overline{AD}| et |\overline{BC}| sont parallèles et |E| est le point milieu de |\overline{AC}.|
Démontre que le quadrilatère |ABCD| est un parallélogramme.
Voir la solution
Pour valider ta compréhension à propos des démonstrations de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
