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Les conditions minimales de similitude des triangles
Fiche | Mathématiques
Secondaire
4
Lorsqu’on compare des polygones, on peut déterminer s’il s’agit de figures semblables en vérifiant qu’ils possèdent des angles homologues isométriques et des côtés homologues proportionnels. C’est la même chose pour les triangles. Pour prouver la similitude des triangles, il n’est pas nécessaire de connaitre la mesure de tous les côtés et de tous les angles. Il suffit de vérifier que certaines conditions minimales sont respectées. C’est ce qu’on appelle les cas de similitude des triangles.
Les conditions minimales de similitude des triangles permettent de démontrer que des triangles sont semblables en utilisant le moins d'arguments possible.
Il existe 3 cas de similitude dans les triangles. Il existe aussi des cas d’isométrie des triangles. On utilise celui qui est le plus approprié selon les informations fournies dans le problème et on organise la démarche dans un tableau d’affirmations et de justifications.
Les 3 cas de similitude des triangles
On peut expliquer pourquoi les conditions minimales sont suffisantes pour affirmer que des triangles sont semblables en s’intéressant à la construction des triangles en question.
Dans l’animation interactive ci-dessous, tu peux sélectionner un des cas de similitude, puis glisser le curseur vers la droite pour avoir des explications sur la construction de triangles semblables.
CCC : Côté-Côté-Côté
Des triangles sont semblables si et seulement si leurs côtés homologues sont proportionnels.
La condition CCC (Côté-Côté-Côté) n’implique aucune mesure d’angle. En effet, il suffit de montrer que les 3 rapports entre les côtés homologues sont équivalents pour conclure que les triangles sont semblables.
Démontre que les triangles |ABC| et |EFG| suivants sont semblables.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
|
1 |
Les côtés homologues sont proportionnels. ||\dfrac{\text{m}\overline{AB}}{\text{m}\overline{EF}}=\dfrac{\text{m}\overline{AC}}{\text{m}\overline{EG}}=\dfrac{\text{m}\overline{BC}}{\text{m}\overline{FG}}|| |
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{AB}}{\text{m}\overline{EF}}=\dfrac{2{,}72}{1{,}36}=2| |
|
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{AC}}{\text{m}\overline{EG}}=\dfrac{4{,}8}{2{,}4}=2| |
||
|
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{BC}}{\text{m}\overline{FG}}=\dfrac{3{,}96}{1{,}98}=2| |
||
|
2 |
Les triangles |ABC| et |EFG| sont semblables.||\triangle ABC\sim\triangle EFG|| |
Ils respectent la condition minimale CCC : des triangles sont semblables si leurs côtés homologues sont proportionnels. |
|
Cas de similitude des triangles : CCC
CAC : Côté-Angle-Côté
Des triangles sont semblables si et seulement s’ils ont une paire d’angles isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues proportionnels.
La condition CAC (Côté-Angle-Côté) implique que la paire d'angles isométriques doit être entre les côtés proportionnels. Autrement dit, l’ordre des lettres (CAC) est important.
Démontre que les triangles |ADC| et |CDB| sur la figure suivante sont semblables.
Avant de remplir le tableau d’affirmations et de justifications, il est important de bien identifier les côtés et les angles homologues. Pour s’aider, on peut placer les triangles |ADC| et |CDB| de la même façon, comme ceci.
Les paires de segments homologues dont les mesures sont connues sont |\color{#3a9a38}{\overline{AD}}| et |\color{#3a9a38}{\overline{CD}},| de même que |\color{#3b87cd}{\overline{CD}}| et |\color{#3b87cd}{\overline{BD}}.|
La paire d’angles homologues connus est |\angle ADC| et |\angle CDB.| De plus, pour chacun des triangles, on doit s’assurer que l’angle connu est bel et bien situé entre les 2 segments donnés.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
|
1 |
Il y a 2 paires de côtés homologues proportionnels. ||\dfrac{\text{m}\overline{CD}}{\text{m}\overline{AD}}=\dfrac{\text{m}\overline{BD}}{\text{m}\overline{CD}}|| |
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{CD}}{\text{m}\overline{AD}}=\dfrac{50}{20}=2{,}5| |
|
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{BD}}{\text{m}\overline{CD}}=\dfrac{125}{50}=2{,}5| |
||
|
2 |
Les angles homologues |ADC| et |CDB| sont isométriques.||\angle ADC\cong\angle CDB|| |
A |
Par hypothèse. |
|
3 |
Les triangles |ADC| et |CDB| sont semblables.||\triangle ADC\sim\triangle CDB|| |
Ils respectent la condition minimale CAC : des triangles sont semblables s’ils ont une paire d’angles isométriques compris entre 2 paires de côtés proportionnels. |
|
Remarque : La figure présentée dans cet exemple peut faire penser aux relations métriques dans le triangle rectangle. Toutefois, on ne peut pas les utiliser pour trouver des mesures manquantes à moins de prouver d’abord que le triangle |ABC| est rectangle en |C,| ce qui n’est pas indiqué sur la figure.
L'angle choisi doit être formé par les paires de côtés homologues analysés. Si l'angle n'est pas au bon endroit, les 2 triangles ne sont pas nécessairement semblables.
Par exemple, sur l’image ci-dessus, |\angle{JAM}| et |\angle{BON}| ont la même mesure. Par contre, l’angle |JAM| est situé entre le petit côté et le grand côté du triangle, mais ce n’est pas le cas pour l’angle |BON.| Les 2 triangles ne sont donc pas semblables. ||\triangle JAM\color{#ec0000}\not\sim\triangle BON||
Cas de similitude des triangles : CAC
AA : Angle-Angle
Des triangles sont semblables si et seulement s’ils ont 2 paires d’angles homologues isométriques.
Puisque la somme des angles intérieurs d’un triangle est de |180^\circ,| des triangles qui ont 2 paires d'angles homologues isométriques ont nécessairement une 3e paire d'angles isométriques. Cette condition minimale est donc très pratique étant donné qu’on a une étape de moins à faire et que la mesure d’aucun côté n’est nécessaire.
Démontre que les triangles |ABC| et |GFE| suivants sont semblables.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
|
1 |
Les angles |A| et |G| sont isométriques. ||\angle BAC\cong\angle FGE|| |
A |
Par hypothèse. |
|
2 |
Les angles |C| et |E| sont isométriques. ||\angle ACB\cong\angle GEF|| |
A |
Par hypothèse. |
|
3 |
Les triangles |ABC| et |GFE| sont semblables. ||\triangle ABC\sim\triangle GFE|| |
Ils respectent la condition minimale AA : des triangles sont semblables s’ils ont 2 paires d’angles homologues isométriques. |
|
Cas de similitude des triangles : AA
La résolution de problèmes à l’aide des conditions minimales de similitude
Après avoir prouvé que des triangles sont semblables, on peut trouver des mesures manquantes sur l’un ou l’autre des triangles, ou compléter une démonstration quelconque. On utilise généralement un tableau d’affirmations et de justifications pour ce type de problème.
Voici 3 exemples où on se sert des conditions minimales pour trouver une mesure manquante.
Il faut d’abord prouver que les triangles sont semblables avec les informations fournies dans le problème avant de calculer des mesures manquantes.
Dans la figure ci-dessous, détermine la mesure du segment |\overline{AS}| sachant qu’il est parallèle au segment |\overline{PT}.|
Voir la solution
Détermine la mesure du segment |\overline{SL}.|
Voir la solution
Détermine la mesure des segments |\overline{AC}| et |\overline{AL}| dans la figure suivante sachant que les segments |\overline{CF}| et |\overline{BL}| sont parallèles.
Voir la solution
Voici un exemple de problème où on se sert des conditions minimales pour compléter une démonstration.
Prouve que les segments |\overline{GZ}| et |\overline{JM}| sont parallèles.
Voir la solution
Pour valider ta compréhension à propos des démonstrations de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
