Les types d'évènements

• Un évènement est un sous-ensemble de l'univers des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

• Les éléments qui appartiennent à un tel sous-ensemble sont appelés les résultats (ou cas) favorables à la réalisation de l'évènement.

On peut s’intéresser à plusieurs évènements lors du lancer d’un dé à |6| faces numérotées de |1| à |6.| Dans un tel cas, l’univers des résultats possibles est |\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.|

Remarque : On désigne toujours un évènement à l'aide d'une lettre majuscule.

Un évènement élémentaire est un évènement qui ne contient qu'un seul résultat de l'univers des possibles.

• On choisit une carte dans un jeu de 52 cartes. L’évènement « obtenir le 2 de pique » est un évènement élémentaire, car il ne contient qu'un seul résultat de l'univers des possibles. La probabilité de cet évènement est de |\dfrac{1}{52}.|

• L'évènement « obtenir un 3 » lorsqu'on lance un dé à |6| faces est un évènement élémentaire, car il ne contient qu'un seul résultat de l'univers des possibles. La probabilité de cet évènement est de |\dfrac{1}{6}.|

La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires d'une expérience aléatoire est égale à |1,| c’est-à-dire |100\ \%.|

• Un évènement certain est un évènement qui se produit toujours. Il correspond à l'univers des résultats possibles et sa probabilité est de |100\ \%.|

• Un évènement possible (ou probable) est un évènement qui peut se produire. Il correspond à un sous-ensemble non vide de l’univers des résultats possibles et sa probabilité est entre |0\ \%| et |100\ \%.|

• Un évènement impossible est un évènement qui ne peut pas se produire. Il ne correspond à aucun des résultats de l’univers des possibles et sa probabilité est de |0\ \%.|

Voici quelques exemples pour des évènements liés à l'expérience « lancer un dé à 6 faces ».

• L'évènement « obtenir une bille rouge » lorsqu'on pige une bille dans un sac contenant |3| billes rouges est un évènement certain, car l'évènement correspond à l'univers des résultats possibles. La probabilité de cet évènement est de |\dfrac{3}{3},| soit |1| ou |100\ \%.|

• L'évènement « obtenir pile » lorsqu'on lance une pièce de monnaie est un évènement probable, car il correspond à un sous-ensemble non vide de l'univers des possibles. La probabilité de cet évènement est de |\dfrac{1}{2,}| soit |50\ \%.|

• L'évènement « obtenir une bille verte » lorsqu'on pige une bille dans un sac contenant |2| billes rouges et |3| billes bleues est un évènement impossible, car il n'y a pas de bille verte dans le sac. La probabilité de cet évènement est de |0.|

Des évènements équiprobables sont des évènements qui ont les mêmes chances de se produire.

• L'évènement |A| « obtenir un nombre inférieur à 2 » et l'évènement |B| « obtenir un nombre supérieur à 5 » lorsqu'on tire un dé à |6| faces sont 2 évènements équiprobables, puisqu'ils ont autant de chances de se produire l'un que l'autre. La probabilité de l'évènement |A| est |P(A)=\dfrac{1}{6}| et la probabilité de l'évènement |B| est |P(B)=\dfrac{1}{6},| puisqu'ils n'ont qu'un cas favorable chacun. 

• L'évènement |C| « obtenir un roi » et l'évènement |D| « obtenir un 5 » lorsqu'on pige une carte dans un jeu de 52 cartes sont 2 évènements équiprobables, puisqu'ils ont autant de chances de se produire l'un que l'autre. La probabilité de l'évènement |C| est |P(C)=\dfrac{1}{13}| et la probabilité de l'évènement |D| est |P(D)=\dfrac{1}{13},| puisqu'ils ont |4| cas favorables chacun sur un total de |52.|

• Un évènement est moins probable lorsqu'il a moins de chances de se produire qu'un autre évènement.

• Un évènement est plus probable lorsqu'il a plus de chances de se produire qu'un autre évènement.

L'évènement |A| « piger une carte de carreau » dans un jeu de 52 cartes est plus probable que l'évènement |B| « piger une dame », puisqu'il a plus de chances de se produire. En effet, la probabilité de l'évènement |A| est |P(A)=\dfrac{13}{52}| alors que la probabilité de l'évènement |B| est |P(B)=\dfrac{4}{52}.|

On peut également affirmer que l'évènement |B| est moins probable que l'évènement |A,| puisque sa probabilité est inférieure.

• Des évènements compatibles sont des évènements qui ont au moins un cas favorable en commun.

• Des évènements incompatibles sont des évènements qui n’ont pas de cas favorables en commun.

On s’intéresse aux 3 évènements suivants lors du lancer d’un dé à 6 faces. 

• L'évènement |A| « obtenir un nombre pair »;

• L'évènement |B| « obtenir un 2, un 3 ou un 5 »;

• L’évènement |C| « obtenir 1 ».

Lorsque 2 évènements sont compatibles, la probabilité que l'évènement |A| ou l'évènement |B| se produise est |P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).|

On peut utiliser la même formule dans le cas d’évènements incompatibles, mais étant donnée que |P(A\cap B)=0,| la formule devient simplement |P(A \cup B) = P(A) + P(B).|

Des évènements complémentaires sont des évènements incompatibles dont l’union de leurs résultats correspond à l'univers des résultats possibles.

• L'évènement |A| « obtenir une carte rouge » et l'évènement |B| « obtenir une carte noire » sont des évènements complémentaires, puisque l’union de leurs cas favorables correspond à l'ensemble des cartes contenues dans un jeu de 52 cartes. La somme des probabilités de ces évènements est égale à |1.|||P(A) + P(B) = \dfrac{26}{52} + \dfrac{26}{52} =\dfrac{52}{52}= 1||

• L'évènement |A| « obtenir un nombre pair » et l'évènement |B| « obtenir un nombre impair » lorsqu'on lance un dé à |6| faces sont des évènements complémentaires, puisque l’union de leurs cas favorables correspond à l'ensemble des résultats possibles et qu’aucun élément ne se trouve dans leur intersection. 

Lorsqu’on cherche la probabilité d'un évènement |A| et qu’on connait la probabilité de son évènement complémentaire |A',| on peut utiliser la relation |P(A)+P(A')=1| et isoler |P(A).|

On estime que |75\ \%| des élèves de secondaire 2 ne portent pas de lunettes. Sachant cela, quelle est la probabilité qu’un élève de secondaire 2 choisi au hasard porte des lunettes?

Les évènements « porter des lunettes » et « ne pas porter des lunettes » sont des évènements complémentaires. En effet, leur intersection est vide, puisqu’un élève ne peut pas porter des lunettes et ne pas les porter simultanément. Aussi, comme « porter des lunettes » et « ne pas porter des lunettes » sont les 2 seules options possibles, l’union de ces ensembles contient tous les éléments de l’univers des possibles. On a donc |P(A)+P(A')=1.|||\begin{align}P(\text{lunettes}) + P(\text{pas de lunettes})&=1\\P(\text{lunettes})&=1-P(\text{pas de lunettes})\\&=1-0{,}75\\&=0{,}25\end{align}||

Réponse : La probabilité qu’un élève de secondaire 2 choisi au hasard porte des lunettes est de |25\ \%.|

Remarque : Posséder une certaine caractéristique et ne pas posséder cette même caractéristique sont toujours des évènements complémentaires.

• Des évènements dépendants sont des évènements dont la réalisation de l'un affecte la réalisation de l'autre.

• Des évènements indépendants sont des évènements dont la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.

• Lorsqu'on lance un dé à |2| reprises, la probabilité d'obtenir un |3| au 2^e lancer n'est pas affectée par la probabilité d'obtenir un |5| au 1^er lancer, puisque les |2| tirages sont des évènements indépendants. 
  
  Par contre, toujours lorsqu’on lance un dé à |2| reprises, la probabilité d’obtenir une somme de |10| est influencée par le résultat du 1^er lancer. En effet, si on obtient un |1| au 1^er lancer, il est alors impossible d’obtenir une somme de |10,| tandis que si on obtient un |5| au 1^er lancer, c’est encore possible d’avoir une somme de |10.|

• On tire |2| cartes sans remise d'un jeu de 52 cartes. Comme il n'y a pas de remise, le 2^e évènement est influencé par le 1^er puisqu'il n'y a plus que |51| cartes dans le jeu après le 1^er évènement. La probabilité du 2^e évènement est donc dépendante du 1^er évènement.

La probabilité de la réalisation consécutive des évènements indépendants |A| et |B| est donnée par |P(A \cap B) = P(A) \times P(B).| On appelle cette propriété le principe de multiplication.

De la même façon, lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, si les évènements |A| et |B| sont dépendants, alors on a |P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B).|

• Des évènements mutuellement exclusifs sont des évènements qui n’ont aucun cas favorable en commun |(A \cap B = \varnothing).|

• Des évènements non mutuellement exclusifs sont des évènements qui ont au moins un cas favorable en commun |(A \cap B \neq \varnothing).|

Lorsque 2 évènements sont non mutuellement exclusifs, la probabilité de l'évènement |A| ou de l'évènement |B| est |P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).|

On peut utiliser la même formule dans le cas d’évènements mutuellement exclusifs, mais étant donnée que |P(A\cap B)=0,| la formule devient simplement |P(A \cup B) = P(A) + P(B).|

• On pige une carte dans un jeu de 52 cartes. L'évènement |A| « obtenir un cœur » et l'évènement |B| « obtenir une carte noire » sont des évènements mutuellement exclusifs car ils n’ont aucun élément en commun. En effet, une carte ne peut pas à la fois être un cœur et être noire.

• On pige une carte dans un jeu de 52 cartes. L'évènement |A| « obtenir un roi » et l'évènement |B| « obtenir une carte noire » sont des évènements non mutuellement exclusifs car ils ont des cas favorables en commun : les rois de pique et de trèfle sont à la fois des rois et des cartes noires.

On lance |2| dés à |6| faces et on fait la somme des résultats obtenus.

• L’évènement |A| « obtenir une somme de 2 » est un évènement élémentaire, car il ne contient qu'un seul résultat de l'univers des possibles : |A=\{(1,1)\}.|

• L’évènement |B| « obtenir une somme inférieure à 15 » est un évènement certain, car il contient tous les résultats de l'univers des possibles puisqu'il se produit toujours. En effet, la somme de |2| dés à |6| faces est toujours située entre |2| et |12| inclusivement.

• L’évènement |C| « obtenir une somme de 15 » est un évènement impossible, car il ne contient aucun résultat de l'univers des possibles. En effet, la plus grosse somme possible avec |2| dés à |6| faces est de |12|.

• Les évènements |D| « obtenir une somme de 12 » et |A| « obtenir une somme de 2 » sont équiprobables, car les |2| ont la même probabilité de se produire. En effet, les |2| évènements n’ont qu’un seul résultat favorable. |A=\{(1,1)\}| et |D=\{(6,6)\}.|

• L’évènement |E| « obtenir une somme de 4 » est plus probable que l’évènement |A| « obtenir une somme de 2 ». En effet, il y a |3| résultats favorables à l’évènement |D,| qui sont |\{(1,3), (2,2), (3,1)\},| alors qu’un seul résultat est favorable à l’évènement |A.|

• Les évènements |F| « obtenir au moins un 2 » et |A| « obtenir une somme de 2 » sont incompatibles car il n’ont pas de résultats favorables en commun.

• Les évènements |G| « obtenir une somme supérieur à 2 » et |A| « obtenir une somme de 2 » sont complémentaires, car ils sont incompatibles et que l’union de leurs résultats correspond à l'univers des résultats possibles.

• Les évènements |H| « obtenir une somme de 8 » et |F| « obtenir au moins un 2 » sont dépendants, car la réalisation de l'un influence la réalisation de l'autre.