Tracer une fonction logarithmique

La fonction logarithmique possède une asymptote verticale et son domaine est restreint. Ainsi, tous les points appartenant à la courbe sont situés soit à gauche, soit à droite de l’asymptote. Avant de la tracer, on doit donc vérifier de quel côté est située la courbe en analysant le paramètre |b| de la règle.

• Si le paramètre |b| est positif, la courbe est située à droite de l’asymptote.

• Si le paramètre |b| est négatif, la courbe est située à gauche de l’asymptote.

Il est important de noter que le logarithme népérien |(\ln x)| se trace de la même façon que les autres fonctions logarithmiques, sauf que la base est le nombre |e.|

||\ln x=\log_ex||où||e\approx 2{,}718||

1. Tracer l’asymptote verticale à |x=0.|

2. Déterminer de quel côté est située la courbe par rapport à l’asymptote, grâce au signe de |b.|

3. Calculer les coordonnées de quelques points appartenant à la courbe.

4. Placer les points dans un plan cartésien et tracer la courbe.

Lorsqu’on trace la courbe d’une fonction logarithmique, on doit s’approcher de plus en plus de l’asymptote, sans jamais y toucher.

Trace la fonction logarithmique dont la règle est |f(x)=-2\log_{3}\left(-\dfrac{x}{2}\right).|

3. Calculer les coordonnées de quelques points

   Comme la courbe est située à gauche de l’asymptote, on doit choisir des valeurs négatives de |x.|

On prend |x=-1.|||\begin{align}f(\color{#FA7921}x)&=-2\log_{3}\left(-\dfrac{\color{#FA7921}x}{2}\right)\\f(\color{#FA7921}{-1})&=-2\log_{3}\left(-\dfrac{\color{#FA7921}{-1}}{2}\right)\\f(-1)&=-2\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)\end{align}||On applique maintenant la loi du changement de base afin d’effectuer le calcul.||\begin{align}f(-1)&=-2\left(\dfrac{\log\left(\frac{1}{2}\right)}{\log(3)}\right)\\&\approx -2\left(\dfrac{-0{,}301}{0{,}477}\right)\\&\approx -2(-0{,}63)\\&\approx 1{,}26\end{align}||On a maintenant un premier point appartenant à la fonction : |(-1;1{,}26).| On continue avec une autre valeur de |x.|

On prend |x=-2.| ||\begin{align}f(\color{#FA7921}x)&=-2\log_{3}\left(-\dfrac{\color{#FA7921}x}{2}\right)\\
f(\color{#FA7921}{-2})&=-2\log_{3}\left(-\dfrac{\color{#FA7921}{-2}}{2}\right)\\
f(-2)&=-2\log_{3}(1)
\end{align}||On obtient le logarithme de |1|, ce qui donne |0.|||\begin{align}f(-2)&=-2(0)\\&=0\end{align}||On a maintenant un deuxième point appartenant à la fonction : |(-2,0).|

En continuant de la même manière, on obtient la table de valeurs suivante.

4. Placer les points dans un plan cartésien et tracer la courbe

Afin de simplifier les calculs et dans certains cas, d’obtenir des coordonnées entières, on peut choisir des valeurs de |x| de sorte que l’argument du logarithme soit une puissance de la base.

Dans l’exemple précédent, la règle est |f(x)=-2\log_{3}\left(-\dfrac{x}{2}\right).| La base est |\color{#333fb1}3| et l’argument est |\left(\color{#EC0000}{-\dfrac{x}{2}}\right).|

On détermine d’abord les puissances de |\color{#333fb1}3.|||\color{#333fb1}3^\color{#3A9A38}0,\color{#333fb1}3^\color{#3A9A38}1,\color{#333fb1}3^\color{#3A9A38}2,\color{#333fb1}3^\color{#3A9A38}3,\color{#333fb1}3^\color{#3A9A38}4,\dots\\\color{#EC0000}1,\color{#EC0000}3,\color{#EC0000}9,\color{#EC0000}{27},\color{#EC0000}{81},\dots||On trouve ensuite les valeurs de |x| qui permettent d’obtenir ces puissances dans l’argument.

Ainsi, en choisissant |x=-2,| |x=-6| et |x=-18,| il n’est pas nécessaire de faire un changement de base pour effectuer la suite du calcul. De plus, les réponses obtenues sont entières.

1. Tracer l’asymptote verticale à |x=h.|

2. Déterminer de quel côté est située la courbe par rapport à l’asymptote, grâce au signe de |b.|

3. Calculer les coordonnées de quelques points appartenant à la courbe.

4. Placer les points dans un plan cartésien et tracer la courbe.

Trace la fonction logarithmique dont la règle est |f(x)=-\log_{2}(x+3)-4.|

3. Calculer les coordonnées de quelques points
   On doit choisir des valeurs de |x| supérieures à |-3.|
   
   On prend |x=-2.|||\begin{align}f(\color{#FA7921}x)&=-\log_{2}(\color{#FA7921}x+3)-4\\f(\color{#FA7921}{-2})&=-\log_{2}(\color{#FA7921}{-2}+3)-4\\f(-2)&=-\log_{2}(1)-4\end{align}||On obtient le logarithme de |1|, ce qui donne |0.|||\begin{align}f(-2)&=-(0)-4\\&=-4\end{align}||On a maintenant un premier point appartenant à la fonction : |(-2,-4).| On continue avec une autre valeur de |x.|
   
   On prend |x=-1.|||\begin{align}f(\color{#FA7921}x)&=-\log_{2}(\color{#FA7921}x+3)-4\\f(\color{#FA7921}{-1})&=-\log_{2}(\color{#FA7921}{-1}+3)-4\\f(-1)&=-\log_{2}(2)-4\\f(-1)&=-(1)-4\\f(-1)&=-5\end{align}||On a maintenant un deuxième point appartenant à la fonction : |(-1,-5).| On peut s’intéresser au calcul de l’ordonnée à l’origine.
   
   On prend |x=0.|||\begin{align}f(\color{#FA7921}x)&=-\log_{2}(\color{#FA7921}x+3)-4\\
   f(\color{#FA7921}{0})&=-\log_{2}(\color{#FA7921}{0}+3)-4\\
   f(0)&=-\log_{2}(3)-4\end{align}||On applique maintenant la loi du changement de base afin d’effectuer le calcul.
   ||\begin{align}f(0)&=-\left(\dfrac{\log3}{\log2}\right)-4\\&\approx -(1{,}58)-4\\&\approx -5{,}58\end{align}||L’ordonnée à l’origine est donc de |-5{,}58.|
   En utilisant l’astuce mentionnée plus haut, on obtient la table de valeurs suivante.

4. Placer les points dans un plan cartésien et tracer la courbe