Tracer une fonction logarithmique

La fonction logarithmique possède une asymptote verticale et son domaine est restreint. La courbe est située soit à gauche, soit à droite de l’asymptote. Avant de la tracer, on doit donc analyser le signe du paramètre |b| de la règle.

• Si le paramètre |b| est positif, la courbe est située à droite de l’asymptote.
• Si le paramètre |b| est négatif, la courbe est située à gauche de l’asymptote.

1. Tracer l’asymptote verticale à |x=h|
2. Déterminer de quel côté est située la courbe par rapport à l’asymptote, grâce au signe de |b|
3. Calculer les coordonnées de quelques points appartenant à la courbe
4. Placer les points dans un plan cartésien et tracer la courbe

Lorsqu’on trace la courbe d’une fonction logarithmique, on doit s’approcher de plus en plus de l’asymptote, sans jamais y toucher.

Trace la fonction logarithmique dont la règle est |f(x)=-4\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}(x+10)\right)+5.|

3. Calculer les coordonnées de quelques points
   On doit choisir des valeurs de |x| supérieures à |-10.|
   On prend |x=-8.| ||\begin{align}f(\boldsymbol{\color{#560FA5}x}) &= -4\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{\color{#560FA5}x}+10)\right)+5\\ f(\boldsymbol{\color{#560FA5}{-8}}) &= -4\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{\color{#560FA5}{-8}}+10)\right)+5\\ f(-8) &= -4\log_{3}\left(\frac{1}{2}\times2\right)+5\\ f(-8) &= -4\log_{3}(1)+5\end{align}||On obtient le logarithme de 1, ce qui donne |0.| ||\begin{align}f(-8) &= -4(0)+5\\&= 5\end{align}||On a maintenant un 1^er point appartenant à la fonction : |(-8,5).| On continue avec une autre valeur de |x.|
   On prend |x=-4.| ||\begin{align}f(\boldsymbol{\color{#560FA5}x}) &= -4\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{\color{#560FA5}x}+10)\right)+5\\ f(\boldsymbol{\color{#560FA5}{-4}}) &= -4\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{\color{#560FA5}{-4}}+10)\right)+5\\ f(-4) &= -4\log_{3}\left(\frac{1}{2}\times6\right)+5\\ f(-4) &= -4\log_{3}(3)+5\\ f(-4) &= -4(1)+5\\ f(-4) &= -4+5\\ f(-4) &= 1\end{align}||On a maintenant un 2^e point appartenant à la fonction : |(-4,1).|
   Calculons l’ordonnée à l’origine en prenant |x=0.| ||\begin{align}f(\boldsymbol{\color{#560FA5}x}) &= -4\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{\color{#560FA5}x}+10)\right)+5\\ f(\boldsymbol{\color{#560FA5}0}) &= -4\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{\color{#560FA5}0}+10)\right)+5\\ f(0) &= -4\log_{3}\left(\frac{1}{2}\times10\right)+5\\ f(0) &= -4\log_{3}(5)+5\end{align}||On applique maintenant la loi du changement de base afin d’effectuer le calcul.||\begin{align}f(0) &= -4\left(\dfrac{\log(5)}{\log(3)}\right)+5\\ &\approx -4(1{,}46)+5\\&\approx -5{,}86+5\\&\approx -0{,}86\end{align}||L’ordonnée à l’origine est donc de |-0{,}86.|
   En continuant de la même manière, on obtient la table de valeurs suivante.

   |\boldsymbol{x}|	|-8|	|-4|	|0|	|8|	|44|
   |\boldsymbol{y}|	|5|	|1|	|-0{,}86|	|-3|	|-7|

   

4. Placer les points dans un plan cartésien et tracer la courbe

Afin de simplifier les calculs et d’obtenir des coordonnées entières, on peut choisir des valeurs de |x| qui font en sorte que l’argument du logarithme soit une puissance de la base.

Dans l’exemple précédent, la règle est |f(x)=-4\log_{3}\left(\dfrac{1}{2}(x+10)\right)+5.| La base est |\boldsymbol{\color{#FF55C3}3}| et l’argument est |\boldsymbol{\color{#333FB1}{\dfrac{1}{2}(x+10)}}.|

On détermine d’abord les puissances de |\boldsymbol{\color{#FF55C3}3}.| ||\begin{align}&\boldsymbol{\color{#FF55C3}3^\color{#3A9A38}0}&&\boldsymbol{\color{#FF55C3}3^\color{#3A9A38}1}&&\boldsymbol{\color{#FF55C3}3^\color{#3A9A38}2}&&\boldsymbol{\color{#FF55C3}3^\color{#3A9A38}3}&&\boldsymbol{\color{#FF55C3}3^\color{#3A9A38}4}\\&\boldsymbol{\color{#333FB1}1}&&\boldsymbol{\color{#333FB1}3}&&\boldsymbol{\color{#333FB1}9}&&\boldsymbol{\color{#333FB1}{27}}&&\boldsymbol{\color{#333FB1}{81}}\end{align}||On trouve ensuite les valeurs de |x| qui permettent d’obtenir ces puissances dans l’argument.

||\begin{align}\boldsymbol{\color{#333FB1}{\dfrac{1}{2}(x+10)}} &= \boldsymbol{\color{#333FB1}1}\\ x+10 &= 2\\ x &= -8\end{align}||Lorsque |x=-8,| l’argument est |\boldsymbol{\color{#333FB1}1}.| ||\log_{\boldsymbol{\color{#FF55C3}3}}(\boldsymbol{\color{#333FB1}1})=\boldsymbol{\color{#3A9A38}0}||

||\begin{align}\boldsymbol{\color{#333FB1}{\dfrac{1}{2}(x+10)}} &= \boldsymbol{\color{#333FB1}3}\\ x+10 &= 6\\ x &= -4\end{align}||Lorsque |x=-4,| l’argument est |\boldsymbol{\color{#333FB1}3}.| ||\log_{\boldsymbol{\color{#FF55C3}3}}(\boldsymbol{\color{#333FB1}3})=\boldsymbol{\color{#3A9A38}1}||

||\begin{align}\boldsymbol{\color{#333FB1}{\dfrac{1}{2}(x+10)}} &= \boldsymbol{\color{#333FB1}9}\\ x+10 &= 18\\ x &= 8\end{align}||Lorsque |x=8,| l’argument est |\boldsymbol{\color{#333FB1}9}.| ||\log_{\boldsymbol{\color{#FF55C3}3}}(\boldsymbol{\color{#333FB1}9})=\boldsymbol{\color{#3A9A38}2}||

Ainsi, en choisissant |x=-8,| |x=-4| et |x=8,| il n’est pas nécessaire de faire un changement de base pour finir le calcul. De plus, les réponses obtenues sont entières.