L'addition d'expressions algébriques

On peut donc définir trois étapes à suivre pour additionner des polynômes :

1. Regrouper les termes semblables.

2. Additionner les termes constants.

3. Additionner les coefficients des termes algébriques semblables.

On retient que lors de l’addition :

• Seuls les termes semblables peuvent être simplifiés.

• Ce sont les coefficients de chacun des termes semblables qui sont additionnés.

Il est rare qu'une équation soit formée uniquement d'additions. Il faudra, dans ce cas, respecter la priorité des opérations lors de la réduction de l'expression algébrique.

Prenons l'expression algébrique suivante :||(x^3+x^2+2x+1)+(x^2+xy+3x+y+3)|| Les parenthèses distinguent les deux polynômes que l'on doit additionner. Elles peuvent être omises étant donné que l'addition ne change pas les signes des coefficients du second polynôme.

1. Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants). ||x^3+\color{green}{x^2}+\color{green}{x^2}+xy+\color{red}{2x}+\color{red}{3x}+y+\color{blue}{1+3}||

2. Additionner les termes constants. ||x^3+\color{green}{x^2}+\color{green}{x^2}+xy+\color{red}{2x}+\color{red}{3x}+y+\color{blue}{4}||

3. Additionner les coefficients des termes algébriques semblables. ||x^3+\color{green}{2x^2}+xy+\color{red}{5x}+y+\color{blue}{4}||

La réponse est donc : |x^3+2x^2+xy+5x+y+4|

Prenons l'expression algébrique suivante :||(2x^3+x^2-2x+2)+(x^3-3x^2+4x-5)||

Les parenthèses distinguent les deux polynômes que l'on doit additionner. Elles peuvent être omises étant donné que l'addition ne change pas les signes des coefficients du second polynôme.

1. Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants). ||\color{green}{2x^3}+\color{green}{x^3}+\color{red}{x^2}+\color{red}{(-3x^2)}+\color{blue}{(-2x)}+\color{blue}{4x}+2-5||

2. Additionner les termes constants.||\color{green}{2x^3}+\color{green}{x^3}+\color{red}{x^2}+\color{red}{(-3x^2)}+\color{blue}{(-2x)}+\color{blue}{4x}-3||

3. Additionner les coefficients des termes algébriques semblables.||\color{green}{3x^3}+\color{red}{(-2x^2)}+\color{blue}{2x}-3||

La réponse est donc : |3x^3-2x^2+2x-3|

On peut vérifier si l'expression de départ est équivalente à l'expression réduite, on peut remplacer chaque variable par une valeur choisie et calculer la valeur de chaque expression. Si les expressions obtenues sont de même valeur, cela indique qu'elles sont équivalentes.

Si on vérifie le deuxième exemple ci-dessus: ||2x^3+x^2-2x+2+x^3-3x^2+4x-5=3x^3-2x^2+2x-3|| On choisit une valeur pour les variables. Par exemple, si |x = 2|: ||\begin{align}2(\color{red}{2})^3+\color{red}{2}^2-2(\color{red}{2})+2+\color{red}{2}^3-3(\color{red}{2})^2+4(\color{red}{2})-5&=3(\color{red}{2})^3-2(\color{red}{2})^2+2(\color{red}{2})-3\\ \\
16+4-4+2+8-12+8-5&=24-8+4-3\\ \\
17&=17\end{align}||Les deux expressions sont donc équivalentes.

Soit les deux polynômes suivants avec leur représentation des tuiles algébriques :
|x^3+x^2+2x+1|

|x^2+xy+3x+y+3|

L’addition de ces deux polynômes sera représentée de la façon suivante avec les tuiles algébriques.
|(x^3+x^2+2x+1)+(x^2+xy+3x+y+3)|

On doit regrouper les tuiles identiques.

On fait l’addition des tuiles.
|x^3+2x^2+xy+5x+y+4|