La réduction d'expressions algébriques

Voici l'ordre à suivre :

1. Les parenthèses

2. Les exposants

3. Les multiplications et divisions (de la gauche vers la droite)

4. Les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite)

Pour se souvenir de l'ordre, on peut prendre les premières lettres de chacune des étapes et former un mot : PEMDAS.

Réduis l'expression algébrique suivante. ||\dfrac{1}{10}-\dfrac{2}{5}\left(3ab-\dfrac{3}{4}\right)+(10a-8b)\div 2||

1. En analysant les parenthèses, on remarque qu'elles ne contiennent aucuns termes semblables. Elles ne peuvent donc pas être réduites davantage.

2. On distribue le |-\dfrac{2}{5}| en avant de la parenthèse en le multipliant avec chacun des termes à l'intérieur des parenthèses.

||\dfrac{1}{10}\color{blue} {-\dfrac{2}{5}}\times 3ab\color{blue} {-\dfrac{2}{5}}\times -\dfrac{3}{4}+(10a-8b)\div 2 \\ \dfrac{1}{10}-\dfrac{6}{5}ab+\dfrac{6}{20}+(10a-8b)\div 2||

3. En suivant l'ordre de priorité, on effectue la division.

||\dfrac{1}{10}-\dfrac{6}{5}ab+\dfrac{6}{20}\color{blue} {+10a\div 2 -8b\div 2}\\ \dfrac{1}{10}-\dfrac{6}{5}ab+\dfrac{6}{20}+5a-4b||

4. Finalement, on réduit les termes semblables. On peut additionner |\dfrac{1}{10}| avec |\dfrac{6}{20}| en trouvant un dénominateur commun. Avant, il est préférable de réduire la fraction |\dfrac{6}{20}| en divisant par |2| le numérateur et le dénominateur. ||\dfrac{6}{20}=\dfrac{6\color{blue} {\div 2}}{20\color{blue} {\div 2}}=\dfrac{3}{10}||Les fractions ont maintenant un dénominateur commun, il est possible de les réduire.||\dfrac{1}{10}-\dfrac{6}{5}ab+\color{blue} {\dfrac{6}{20}}+5a-4b\\ \color{blue} {\dfrac{1}{10}}-\dfrac{6}{5}ab+\color{blue} {\dfrac{3}{10}}+5a-4b\\ \color{blue} {\dfrac{4}{10}}-\dfrac{6}{5}ab+5a-4b||

5. La fraction |\dfrac{4}{10}| peut se réduire en divisant par |2| le numérateur et le dénominateur.||\color{blue}{\dfrac{4}{10}}-\dfrac{6}{5}ab+5a-4b\\ \color{blue}{\dfrac{2}{5}}-\dfrac{6}{5}ab+5a-4b||

Réponse : En disposant les termes de l'expression en ordre décroissant de leur degré et en ordre alphabétique, l'expression réduite est donc : |-\dfrac{6}{5}ab+5a-4b+\dfrac{2}{5}.|

Réduis l'expression algébrique suivante.||8(4x+12-5x)+8x^{3}\div2x^{2}||

1. On commence par réduire les termes semblables à l'intérieur des parenthèses. On peut soustraire |4x| et |5x.| ||\begin{align}8({\color{blue}{4x}}+12\color{blue}{-5x})&+8x^{3}\div2x^{2}\\ 8(-x+12)&+8x^{3}\div2x^{2}\end{align}||

2. On distribue le |8| en avant de la parenthèse en le multipliant avec chacun des termes à l'intérieur des parenthèses.||\begin{align}\color{blue}{8\times}-x+\color{blue}{8\times}12&+8x^{3}\div2x^{2}\\ -8x + 96&+8x^3\div 2x^2\end{align}||

3. En suivant l'ordre de priorité, on effectue la division. ||\begin{align}-8x+96&+{\color{blue}{8x^{3}\div2x^{2}}}\\ -8x+96&+4x\end{align}||

4. Finalement, on réduit les termes semblables. On additionne |-8x| et |4x| ||\begin{align}\color{blue}{-8x}&+96\color{blue}{+4x}\\ -4x&+96\end{align}||

Réponse : L'expression réduite est donc : |-4x+96.|

Réduis l'expression suivante. ||6(x+3)-(3x^{3}+6x^{3}+8x^{2}-4x)+36x^{5}\div3x^{3}\times x+9||

1. On commence par réduire les termes semblables dans les parenthèses s'il y a lieu.

||\begin{align} 6(x+3)-({\color{blue}{3x^{3}}}{\color{blue}{+6x^{3}}}+8x^{2}-4x)&+36x^{5}\div3x^{3}\times x+9\\ 6(x+3)-(9x^{3}+8x^{2}-4x)&+36x^{5}\div3x^{3}\times x+9\end{align}||

2. On fait la distributivité du |6| en le multipliant à chaque terme de la première parenthèse.

||\begin{align}{\color{blue}{6\times x}}+{\color{blue}{6\times 3}}&-(9x^{3}+8x^{2}-4x)+36x^{5}\div3x^{3}\times x+9\\ 6x+18&-(9x^{3}+8x^{2}-4x)+36x^{5}\div3x^{3}\times x+9\end{align}||

3. On fait la distributivité du |-| pour la deuxième parenthèse. Il ne faut pas oublier que le négatif signifie de multiplier la parenthèse par |-1|. On multiplie donc chacun des termes de la 2^e parenthèse par |-1|. Cela revient à changer les signes.

||\begin{align}6x+18\color{blue}{-1\times 9x^{3}-1\times 8x^{2}-1\times -4x}&+36x^{5}\div3x^{3}\times x+9\\ 6x+18-9x^{3} - 8x^{2} + 4x& + 36x^{5}\div3x^{3}\times x+9\end{align}||

4. On fait les divisions, de gauche à droite, s'il y en a.

||\begin{align}6x+18-9x^{3}-8x^{2}+4x&+{\color{blue}{36x^{5}\div3x^{3}}}\times x+9\\ 6x+18-9x^3-8x^2+4x&+12x^2\times x+9\end{align}||

5. On fait les multiplications, de gauche à droite, s'il y en a.

||\begin{align}6x+18-9x^{3}-8x^{2}+4x&+{\color{blue}{12x^{2}\times x}}+9\\ 6x+18-9x^{3}-8x^{2}+4x&+12x^{3}+9\end{align}||

6. On additionne et on soustrait les termes semblables.

||\color{blue}{6x}\color{fuchsia}{+18}\color{green}{-9x^{3}}-8x^{2}\color{blue}{+4x}\color{green}{+12x^{3}}\color{fuchsia}{+9}\\ 3x^{3}-8x^{2}+10x+27||

Réponse : L'expression réduite est donc : |3x^{3}-8x^{2}+10x+27.|