La réciproque de la fonction logarithmique

1. Tracer la fonction à l’aide de points
2. Tracer l’axe de réflexion |y=x|
3. Effectuer la réflexion de quelques points de la fonction par rapport à l’axe |y=x|
4. Tracer le graphique de la réciproque

Trace la réciproque de la fonction logarithmique suivante.||y=-3\log_5(2(x+4))+3.||

1. Tracer la fonction à l’aide de points

Puisqu’il n’y a pas de points donnés ni de table de valeurs, on doit utiliser la règle en remplaçant |x| par une valeur quelconque.
Si |x = -3,9|, on obtient :||\begin{align}f(-3{,}9)&=-3\log_5\left(2(-3{,}9+4\right))+3\\&=-3\log_5\left(2\times0{,}1\right)+3\\&=-3\log_5\left(0{,}2\right)+3\\&=-3\times-1+3\\&=3+3\\&=6\end{align}||Le graphique de la fonction logarithmique passe donc par le point |(-3{,}9; 6).| On répète pour d’autres valeurs de |x| afin d’avoir d’autres points.

On relie les points pour tracer la courbe du graphique.

2. Tracer l’axe de réflexion |\boldsymbol{y = x}|

3. Effectuer une réflexion de quelques points de la fonction par rapport à l’axe |\boldsymbol{y = x}|

On interchange les |x| et les |y| des points, puis on les place dans le graphique.

4. Tracer la réciproque de la fonction

On obtient ainsi la réciproque de la fonction logarithmique de départ. On peut utiliser les points de la réciproque afin de trouver la règle de cette fonction exponentielle.

Une fonction logarithmique et sa réciproque ont toujours la même variation.

1. Interchanger les variables |x| et |y| dans la règle initiale
2. Isoler l'expression contenant le logarithme
3. Isoler |y| en passant à la forme exponentielle

Déterminer algébriquement la règle de la réciproque de la fonction logarithmique suivante.
||f(x)=-4\log_7\left(3(x-6)\right)+8||

1. Interchanger les variables |\boldsymbol{x}| et |\boldsymbol{y}| dans la règle initiale||\begin{gather}\boldsymbol{\color{#C58AE1}y}=-4\log_7\left(3(\boldsymbol{\color{#560FA5}x}-6)\right)+8\\\Downarrow\\\boldsymbol{\color{#560FA5}x}=-4\log_7\left(3(\boldsymbol{\color{#C58AE1}y}-6)\right)+8\end{gather}||
2. Isoler l'expression contenant le logarithme||\begin{align}x&=-4\log_7\left(3(y-6)\right)+8\\x-8&=-4\log_7\left(3(y-6)\right)\\-\dfrac{1}{4}(x-8)&=\log_7\left(3(y-6)\right)\end{align}||
3. Passer à la forme exponentielle pour isoler |\boldsymbol{y}|||\begin{align}7^{\frac{-1}{4}(x\,-\,8)}&=3(y-6)\\\dfrac{7^{\frac{-1}{4}(x\,-\,8)}}{3}&=y-6\\\dfrac{7^{\frac{-1}{4}(x\,-\,8)}}{3}+6&=y\\\dfrac{1}{3}(7)^{\frac{-1}{4}(x\,-\,8)}+6&=y\end{align}||

Réponse: La règle de la réciproque est |f^{-1}(x)=\dfrac{1}{3}(7)^{\frac{-1}{4}(x\,-\,8)}+6.|

Si on observe attentivement la fonction de départ et sa réciproque, voici ce qu'on remarque.

• La base |\boldsymbol{\color{#FF55C3}{c}}| de la réciproque est la même que celle de la fonction de départ.
• L'inverse du paramètre |\boldsymbol{\color{#3A9A38}{a}}| de la fonction de départ correspond au paramètre |\boldsymbol{\color{#EC0000}{b}}| de la réciproque.
• L'inverse du paramètre |\boldsymbol{\color{#EC0000}{b}}| de la fonction de départ correspond au paramètre |\boldsymbol{\color{#3A9A38}{a}}| de la réciproque.
• Le paramètre |\boldsymbol{\color{#3B87CD}{h}}| correspond au paramètre |\boldsymbol{\color{#FA7921}{k}}| de la réciproque.
• Le paramètre |\boldsymbol{\color{#FA7921}{k}}| correspond au paramètre |\boldsymbol{\color{#3B87CD}{h}}| de la réciproque.

||\begin{gather}f(x)=\boldsymbol{\color{#3A9A38}{a}}\log_\boldsymbol{\color{#FF55C3}{c}}\left(\boldsymbol{\color{#EC0000}{b}}(x-\boldsymbol{\color{#3B87CD}{h}})\right)+\boldsymbol{\color{#FA7921}{k}}\\\Updownarrow\\f^{-1}(x)=\boldsymbol{\color{#3A9A38}{\dfrac{1}{b}}}(\boldsymbol{\color{#FF55C3}{c}})^{\boldsymbol{\color{#EC0000}{\frac{1}{a}}}(x\,-\,\boldsymbol{\color{#3B87CD}{k}})}+\boldsymbol{\color{#FA7921}{h}}\end{gather}||

Trouve la règle de la réciproque de la fonction logarithmique suivante.||f(x)=0{,}25\log_{10}\left(-\dfrac{2}{7}(x+9)\right)-6||

On peut passer directement à la réciproque de la façon suivante.
||\begin{gather}f(x)=\boldsymbol{\color{#3A9A38}{0{,}25}}\log_\boldsymbol{\color{#FF55C3}{10}}\left(\boldsymbol{\color{#EC0000}{-\dfrac{2}{7}}}(x-\boldsymbol{\color{#3B87CD}{-9}})\right)+\boldsymbol{\color{#FA7921}{-6}}\\[3pt]\Updownarrow\\[3pt]\begin{aligned}f^{-1}(x)&=\boldsymbol{\color{#3A9A38}{\dfrac{1}{-\frac{2}{7}}}}(\boldsymbol{\color{#FF55C3}{10}})^{\boldsymbol{\color{#EC0000}{\frac{1}{0{,}25}}}(x\,-\,\boldsymbol{\color{#3B87CD}{-6})}}+\boldsymbol{\color{#FA7921}{-9}}
\\[5pt]&=-\dfrac{7}{2}(10)^{4(x\,+\,6)}-9\end{aligned}\end{gather}||