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La fonction cosinus
Fiche | Mathématiques
Secondaire
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Une fonction cosinus est une fonction périodique définie par l’abscisse des points du cercle trigonométrique en fonction de la mesure des angles (en radians) du cercle.
Pour aborder la fonction cosinus, il importe de définir certains termes. De plus, d’autres notions connexes peuvent être consultées.
Notions connexes
- Le rôle des paramètres dans une fonction cosinus
- Les propriétés de la fonction cosinus (sinus)
- Tracer une fonction cosinus
- Trouver la règle d’une fonction cosinus
- La réciproque de la fonction cosinus (arccos)
- Résoudre une équation ou une inéquation cosinus
- La résolution de problèmes impliquant la fonction cosinus
La fonction cosinus de base
La règle de la fonction cosinus de base est |f(x)= \cos x.|
L’animation suivante permet de voir comment passer du cercle trigonométrique à la fonction cosinus de base. À chaque valeur de |\color{#333FB1}\theta| (en radians) est associé un point sur le cercle. En s’intéressant à la coordonnée en |\color{#EC0000}x| de ces points, il est possible de tracer le graphique.
Sur l’animation, tu peux déplacer le curseur ou déplacer le point sur la courbe et observer le lien entre les deux.
Les propriétés de la fonction cosinus de base
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Puisque la rotation du cercle peut se faire à l’infini, le domaine de la fonction correspond à l’ensemble |\mathbb{R}.|
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La fonction cosinus possède un zéro lorsque l’angle |\theta| a effectué un quart de tour |\left(\theta=\dfrac{\pi}{2}\right),| puis un autre lorsque |\theta| a parcouru les trois quarts du tour |\left(\theta=\dfrac{3\pi}{2}\right).| Puisque la rotation du cercle est infinie, la fonction possède une infinité de zéros.||\theta \in\left\{\dots,\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{3\pi}{2},\, \dfrac{5\pi}{2}, \dots\right\}||
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La valeur maximale est |1| et la valeur minimale est |-1,| étant donné que le rayon du cercle trigonométrique est de |1| unité. Ces valeurs surviennent chaque fois que le cercle fait un demi-tour. ||\theta \in\left\{\dots,0,\pi,2\pi,3\pi\dots\right\}||
En analysant l’animation, on remarque que la fonction cosinus de base est obtenue par un déplacement horizontal de |\dfrac{\pi}{2}| unité par rapport à la fonction sinus de base. En d'autres mots, il suffit de déplacer la fonction |\cos x| de |\dfrac{\pi}{2}| unité vers la droite pour obtenir la fonction |\sin x.|
Ainsi, on en déduit l’égalité suivante.||\begin{align}\sin x&=\cos\left(x-\color{#C58AE1}h\right)\\\sin x&=\cos\left(x-\color{#C58AE1}{\dfrac{\pi}{2}}\right)\end{align}||Cette même égalité est utilisée lorsqu’on travaille avec les identités trigonométriques.
À l’inverse, on peut aussi en déduire l’égalité suivante.||\cos x=\sin\left(x+\color{#C58AE1}{\dfrac{\pi}{2}}\right)||
Sur l’animation, tu peux déplacer le curseur afin d’observer le déphasage entre les fonctions sinus et cosinus.
La fonction cosinus transformée
La règle de la fonction cosinus transformée est |f(x)=a \cos\big(b(x-h)\big)+k.|
Le paramètre |a| est lié à l’amplitude.
Le paramètre |b| est lié à la période.
Le paramètre |h| est lié au déphasage.
Le paramètre |k| est lié à l’axe d’oscillation.
L’axe d’oscillation
L’axe d’oscillation (aussi appelé ordonnée moyenne), correspond à la droite horizontale passant au milieu de la fonction.
On détermine l’axe d’oscillation d’une fonction cosinus grâce au paramètre |k.|||\color{#3a9a38}{\text{Axe d'oscillation}: y=k}||
On peut aussi déterminer l’axe d’oscillation à l’aide des extrémums.||k=\dfrac{\max+\min}{2}||
L’amplitude
Pour bien définir l’amplitude d’une fonction cosinus, on a besoin de l’axe d’oscillation.
L’amplitude |\color{#fa7921}{(A)}| d’une fonction cosinus correspond à la distance verticale entre l’axe d’oscillation et le maximum ou entre l’axe d’oscillation et le minimum.
On détermine l’amplitude grâce au paramètre |a.|||\color{#fa7921}{A=\vert a\vert}||On peut aussi déterminer l’amplitude à l’aide des extrémums.||\color{#fa7921}A=\dfrac{\max-\min}{2}||
La période
Pour définir la période, on doit repérer un cycle. Dans la fonction cosinus, on choisit généralement un cycle qui débute et se termine à un extrémum. Cela aide à tracer la fonction cosinus et à trouver sa règle.
La période |(\color{#333fb1}p)| correspond à l’écart entre les 2 valeurs de |x| aux extrémités d’un cycle.
On détermine la période grâce au paramètre |b.|||\color{#333fb1}{p=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}}||
Le déphasage
Le déphasage correspond au déplacement horizontal de la fonction cosinus transformée par rapport à la fonction cosinus de base.
On peut déterminer le déphasage d’une fonction cosinus grâce au paramètre |h.|||\color{#C58AE1}{\text{Déphasage}=h}||
Puisque la fonction cosinus est périodique, il y a plusieurs déphasages possibles pour une même fonction transformée.
Dans l’image ci-dessous, on a tracé la fonction cosinus de base en noir. La fonction cosinus transformée, en mauve, peut avoir subi un déphasage de |\dfrac{\pi}{2},| donc un déplacement de |\dfrac{\pi}{2}| unité vers la droite, par rapport à la fonction de base.
On pourrait aussi déterminer qu’elle a subi un déphasage de |-\dfrac{3\pi}{2}| unités, donc un déplacement de |\dfrac{3\pi}{2}| unités vers la gauche, ou même de |\dfrac{5\pi}{2}| unités vers la droite. Toutes ces options et même bien d’autres sont possibles et donnent encore la même fonction cosinus transformée.
