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Trouver la règle d'une fonction cosinus
Fiche | Mathématiques
Secondaire
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Table des matières
La règle d’une fonction cosinus est |f(x)=a\cos\!\big(b(x-h)\big)+k.|
Le paramètre |a| est lié à l’amplitude.
Le paramètre |b| est lié à la période.
Le paramètre |h| est lié au déphasage.
Le paramètre |k| est lié à l’axe d’oscillation.
Lorsqu’on cherche la règle d’une fonction sinusoïdale à partir de la fonction cosinus, on doit repérer un cycle qui débute à un sommet (un maximum ou un minimum) et qui se termine à la même hauteur. Le point au début du cycle choisi correspond au couple |(h,k+A)| s’il est un maximum et au couple |(h,k-A)| s’il est un minimum.
Comme il existe une infinité de sommets pour une même fonction cosinus, il y a une infinité de valeurs possibles pour |h| et |k.|
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Déterminer |k| à l’aide de l’axe d’oscillation.
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Choisir un sommet et déterminer |h.|
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Délimiter un cycle à partir du sommet choisi.
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Déterminer |\vert a\vert| grâce à l’amplitude.
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Déterminer |b| grâce à la période.
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Déterminer le signe de |a.|
Si la fonction débute à un maximum, |a| est positif.
Si la fonction débute à un minimum, |a| est négatif. -
Écrire la règle de la fonction.
Détermine la règle de la fonction cosinus passant par les points |(1{,}25;-0{,}25)| et |(2{,}75;-1{,}75)| représentant respectivement un maximum et un minimum.
Voir la solution
Dans l’exemple précédent, en choisissant le point |(1{,}25;-0{,}25),| qui est un maximum, on a obtenu la règle suivante.||f(x)=0{,}75\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(x-1{,}25)\right)-1||
Si on avait plutôt choisi le point |(2{,}75;-1{,}75),| la fonction aurait débuté à un minimum, ce qui signifie que |a| aurait été négatif. On aurait alors obtenu la règle suivante.||f(x)=-0{,}75\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(x-2{,}75)\right)-1||Si on analyse ces règles, on se rend compte que |\vert a\vert,| |b| et |k| ne changent jamais. Les seules différences entre elles sont la valeur de |h| et le signe de |a.|
Voici un exemple dans lequel le cycle n’est pas affiché complètement dans le plan cartésien.
Détermine la règle de la fonction cosinus passant par les points |\left(-\dfrac{4\pi}{3},0\right)| et |\left(-\dfrac{\pi}{3},4\right)| représentant respectivement un minimum et un maximum.
Voir la solution
Voici un exemple dans lequel les sommets ne sont pas directement fournis. Il faut alors procéder à un peu plus de calculs pour déterminer les paramètres.
Détermine la règle de la fonction cosinus passant par les points |\left(-\dfrac{3}{4},-2\right)| et |\left(\dfrac{5}{4},-2\right).|
Voir la solution
Lorsque ce sont des points d’inflexion de la fonction sinusoïdale qui sont fournis, il est plutôt avantageux de faire la recherche de la règle de la fonction sinus. De cette façon, il y a moins de manipulations à effectuer.
Lorsqu’on demande de trouver l’équation d’une fonction sinusoïdale, on peut trouver l'équation d'une fonction sinus ou l'équation d'une fonction cosinus. Voici un exemple dans lequel on peut déduire l’équation d’une fonction cosinus à l’aide des identités trigonométriques.
Voici une fonction sinusoïdale dont la règle, à partir de la fonction sinus, est |f(x)=-2\sin(x)-1.|
Pour transformer l’équation en fonction cosinus, on applique l’identité remarquable suivante : |\sin x=\color{#3A9A38}{\cos}\left(x\color{#3A9A38}{-\dfrac{\pi}{2}}\right).|||\begin{align}f(x)&=-2\sin(x)-1\\ f(x)&=-2\color{#3A9A38}{\cos}\left(x\color{#3A9A38}{-\dfrac{\pi}{2}}\right)-1\end{align}||Les 2 règles précédentes sont équivalentes.
Remarque : Même si la règle est passée d’une fonction sinus à une fonction cosinus, |\vert a \vert| et |\vert b\vert| n’ont pas changé, puisque l’amplitude et la période sont restées les mêmes. On remarque que |k| n’a pas changé non plus étant donné que l’axe d’oscillation est aussi le même.
Les seules différences possibles entre les règles sont la valeur de |h,| le signe de |a| et celui de |b.|