Trouver la règle d'une fonction racine carrée

On distingue 2 cas différents lorsqu’on cherche la règle d’une fonction racine carrée sous la forme canonique : soit son sommet est situé à l’origine du plan cartésien, soit son sommet est situé ailleurs.

Dans les deux cas, on peut utiliser la forme simplifiée de la règle. De cette façon, le paramètre |\color{#EC0000}{b}| prend seulement |\color{#EC0000}{-1}| ou |\color{#EC0000}{1}| comme valeur.

1. Déduire la valeur de |\color{#EC0000}{b}| en se basant sur le rôle des paramètres. Si la courbe se trouve à droite du sommet, alors |\color{#EC0000}{b}=\color{#EC0000}{1}.| Autrement, si la courbe se trouve à gauche du sommet, alors |\color{#EC0000}{b}=\color{#EC0000}{-1}.|

2. Remplacer |\color{#3A9A38}{x}| et |\color{#3A9A38}{f(x)}| par les coordonnées d’un point autre que le sommet pour former une équation.

3. Calculer la valeur du paramètre |\color{#3b87CD}{a}.|

4. Donner la règle de la fonction.

Détermine la règle de la fonction racine carrée ci-dessous.

1. Déduire si |b| vaut |1| ou |-1|
   Le point |(\color{#3A9A38}{-9},\color{#3A9A38}{15})| est à gauche du sommet, ce qui implique que |\color{#EC0000}{b}| est négatif.||\begin{align}f(x)&=a\sqrt{\color{#EC0000}{b}x}\\f(x)&=a\sqrt{\color{#EC0000}{-1}x}\\f(x)&=a\sqrt{-x}\\\end{align}||

2. Remplacer |x| et |f(x)| par les coordonnées d’un point
   ||\begin{align}\color{#3A9A38}{f(x)}&=a\sqrt{-\color{#3A9A38}{x}}\\\color{#3A9A38}{15}&=a\sqrt{-\color{#3A9A38}{-9}}\end{align}||

3. Calculer la valeur du paramètre |a|
   ||\begin{align}15&=\color{#3b87CD}{a}\sqrt{--9}\\15&=\color{#3b87CD}{a}\sqrt{9}\\15&=3\color{#3b87CD}{a}\\\color{#3b87CD}{5}&=\color{#3b87CD}{a}\end{align}||

4. Donner la règle
   La règle de cette fonction racine carrée est |f(x)=5\sqrt{-x}.|

1. Remplacer |\color{#51B6C2}{h}| et |\color{#FA7921}{k}| dans la règle par les coordonnées du sommet.

2. Déduire la valeur de |\color{#EC0000}{b}| en se basant sur le rôle des paramètres. Si la courbe se trouve à droite du sommet, alors |\color{#EC0000}{b}=\color{#EC0000}{1}.| Autrement, si la courbe se trouve à gauche du sommet, alors |\color{#EC0000}{b}=\color{#EC0000}{-1}.|

3. Remplacer |\color{#3A9A38}{x}| et |\color{#3A9A38}{f(x)}| par les coordonnées d’un point autre que le sommet pour former une équation.

4. Calculer la valeur du paramètre |\color{#3b87CD}{a}.|

5. Donner la règle de la fonction.

Détermine la règle de la fonction racine carrée ci-dessous.

1. Remplacer |h| et |k| par les coordonnées du sommet
   ||\begin{align}f(x)&=a\sqrt{b(x-\color{#51B6C2}{h})}+\color{#FA7921}{k}\\f(x)&=a\sqrt{b(x-\color{#51B6C2}{-1})}+\color{#FA7921}{-3}\\f(x)&=a\sqrt{b(x+1)}-3\end{align}||

2. Déduire si |b| vaut |1| ou |-1|
   Le point |(\color{#3A9A38}{-5},\color{#3A9A38}{1})| est à gauche du sommet, ce qui implique que |\color{#EC0000}{b}| est négatif.||\begin{align}f(x)&=a\sqrt{\color{#EC0000}{b}(x+1)}-3\\f(x)&=a\sqrt{\color{#EC0000}{-1}(x+1)}-3\\f(x)&=a\sqrt{-(x+1)}-3\end{align}||

3. Remplacer |x| et |f(x)| par les coordonnées d’un point
   ||\begin{align}\color{#3A9A38}{f(x)}&=a\sqrt{-(\color{#3A9A38}{x}+1)}-3\\\color{#3A9A38}{1}&=a\sqrt{-(\color{#3A9A38}{-5}+1)}-3\end{align}||

4. Calculer la valeur du paramètre |a|
   ||\begin{align}1&=\color{#3b87CD}{a}\sqrt{-(-5+1)}-3\\1&=\color{#3b87CD}{a}\sqrt{4}-3\\1&=2\color{#3b87CD}{a}-3\\4&=2\color{#3b87CD}{a}\\\color{#3b87CD}{2}&=\color{#3b87CD}{a}\end{align}||

5. Donner la règle
   La règle de la fonction racine carrée est |f(x)=2\sqrt{-(x+1)}-3.|

Détermine la règle de la fonction racine carrée ci-dessous.

1. Remplacer |h|
   ||\begin{align}f(x)&=a\sqrt{b(x-\color{#51B6C2}{h})}+\color{#FA7921}{k}\\f(x)&=a\sqrt{b(x-\color{#51B6C2}{5})}+\color{#FA7921}{k}\end{align}||

2. Déduire si |b| vaut |1| ou |-1|
   Les deux points fournis sont à droite du sommet, ce qui implique que |\color{#EC0000}{b}| est positif.||\begin{align}f(x)&=a\sqrt{\color{#EC0000}{b}(x-5)}+k\\f(x)&=a\sqrt{\color{#EC0000}{1}(x-5)}+k\\f(x)&=a\sqrt{x-5}+k\end{align}||

3. Remplacer |x| et |f(x)| par les coordonnées de 2 points
   Puisque les paramètres |\color{#3B87CD}{a}| et |\color{#FA7921}{k}| sont inconnus, on doit former un système de 2 équations.

4. Résoudre le système d’équations pour trouver la valeur de |a| et |k|
   On peut maintenant résoudre le système d’équations. On isole |\color{#FA7921}{k}| dans la première équation pour ensuite utiliser la méthode de substitution.||\begin{align}-8&=\color{#3B87CD}{a}\sqrt{9-5}+\color{#FA7921}{k}\\-8&=\color{#3B87CD}{a}\sqrt{4}+\color{#FA7921}{k}\\-8&=2\color{#3B87CD}{a}+\color{#FA7921}{k}\\\color{#FA7921}{-8-2a}&=\color{#FA7921}{k}\\\end{align}||En substituant |\color{#FA7921}{k}| dans la deuxième équation, on a :||\begin{align}-15&=\color{#3B87CD}{a}\sqrt{14-5}+\color{#FA7921}{k}\\-15&=\color{#3B87CD}{a}\sqrt{9}\color{#FA7921}{-8-2a}\\-7&=3\color{#3B87CD}{a}-2\color{#3B87CD}{a}\\\color{#3B87CD}{-7}&=\color{#3B87CD}{a}\\\end{align}||Finalement, en remplaçant |\color{#3B87CD}{a}| dans la première équation, on obtient la valeur de |\color{#FA7921}{k}| :||\begin{align}-8-2\color{#3B87CD}{a}&=\color{#FA7921}{k}\\-8-2(\color{#3B87CD}{-7})&=\color{#FA7921}{k}\\\color{#FA7921}{6}&=\color{#FA7921}{k}\end{align}||

5. Donner la règle
   La règle de cette fonction racine carrée est |f(x)=-7\sqrt{x-5}+6.|