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La racine d’un nombre
Fiche | Mathématiques
Secondaire
1-3
Table des matières
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Le symbole |\sqrt{\phantom{2}}| se nomme radical.
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Le nombre ou l'expression algébrique qui se trouve sous le radical s’appelle le radicande.
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Le degré d’une racine, situé en haut à gauche du radical, se nomme l’indice.
||\sqrt[\Large{\color{#3b87cd}{\textbf{indice}}}]{\color{#ec0000}{\textbf{radicande}}}= \color{#3a9a38}{\textbf{racine}}||
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|\sqrt{16}| est la racine carrée de |16| et vaut |4,| car |4^2=16.|
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|\sqrt[\large3]{125}| est la racine cubique de |125| et vaut |5,| car |5^3=125.|
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|\sqrt[\large4]{1\ 296}| est la racine quatrième de |1\ 296| et vaut |6,| car |6^4=1\ 296.|
De façon générale, on obtient ceci :
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|\sqrt[\large n]{x}| est la racine nième du nombre |x.| ||\sqrt[\large n]{x}=y\quad \Longleftrightarrow\quad y^n=x||
La racine carrée
La racine carrée d'un nombre |y| correspond à un nombre réel positif |x| qui, élevé au carré, donne |y.| ||\sqrt{y} = x\ \Longleftrightarrow\ x^2=y||
En résumé, extraire une racine carrée et élever au carré sont des opérations inverses.
La racine carrée de |49| est |7,| car |7| au carré égale |49.| ||\sqrt{49} = 7\ \Longleftrightarrow\ 7^2=49||
On peut utiliser une racine carrée pour isoler une variable affectée d’un exposant 2 dans une équation. C’est donc utile pour trouver une mesure manquante dans une figure plane à partir de l’aire.
||\begin{align} c^2 &= 184{,}96\\ \color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{c^2}}}&=\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{184{,}96}}}\\ c &= 13{,}6\end{align}||
Dans l’ensemble des nombres réels |(\mathbb{R}),| on ne peut pas calculer la racine carrée des nombres négatifs.
En effet, à cause de la loi des signes, un nombre élevé au carré, qu’il soit positif ou négatif, donne toujours un résultat positif. Par exemple, |5^2= 5 \times 5 = 25| et |(-5)^2=-5 \times -5 = 25| aussi. En conséquence, dans |\mathbb{R},| il est impossible de calculer la racine carrée de |-25,| car il n’existe pas de nombre qui, multiplié par lui-même, donne |-25.|
Selon la définition, la racine carrée d’un nombre est toujours positive. Toutefois, lorsqu’il faut résoudre des équations de degré 2, il est important de donner les 2 solutions et pas seulement la solution positive.
Autrement dit, même si la racine carrée de |81| est |9| (positif), l’équation |x^2=81| possède 2 solutions : |9| et |-9.|
Quelles sont les solutions de l’équation suivante? ||8x^2=450||
On divise par |8| pour isoler |x^2.| ||\begin{align} 8x^2&=450\\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{8x^2}}{\boldsymbol{8}}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{450}}{\boldsymbol{8}}}\\ x^2&=56{,}25\end{align}||On cherche maintenant un nombre |x| qui, élevé au carré, donne |56{,}25.| Il faut donc calculer la racine carrée de |56{,}25.| ||\sqrt{56{,}25}=7{,}5|||7{,}5| est une solution de l’équation. Cependant, il ne s’agit pas de la seule solution, puisque |-7{,}5| est aussi une solution valable. Voici la validation de ces 2 solutions. ||\begin{gather}8\boldsymbol{\color{#3a9a38}{x}}^2=450\\\swarrow\searrow\\\begin{aligned}8(\boldsymbol{\color{#3a9a38}{7{,}5}})^2&\overset{?}{=}450 &8(\boldsymbol{\color{#3a9a38}{-7{,}5}})^2&\overset{?}{=}450\\[3pt]8(56{,}25)&\overset{?}{=}450&8(56{,}25)&\overset{?}{=}450\\[3pt]450&=450&450&=450\end{aligned}\end{gather}||Réponse : Les solutions de l’équation sont |7{,}5| et |-7{,}5.|
Lorsqu’on résout une équation de degré 2, pour ne pas oublier la 2e solution, on utilise le symbole |\pm| au moment d’extraire une racine carrée. ||\begin{aligned} x^2&=56{,}25\\ x&=\color{#ec0000}{\boldsymbol\pm\sqrt{\color{black}{56{,}25}}}\\ &\swarrow\ \searrow\end{aligned}\\ \begin{alignat}{1}\!\!\!\!\!\! x_1 &=\color{#ec0000}{\boldsymbol +\sqrt{\color{black}{56{,}25}}} \qquad x_2&=\color{#ec0000}{\boldsymbol -\sqrt{\color{black}{56{,}25}}}\\ &=\color{#ec0000}{\boldsymbol +}\,7{,}5 &=\color{#ec0000}{\boldsymbol -}\,7{,}5 \end{alignat}||
La racine cubique (secondaire 3)
La racine cubique d'un nombre |y| correspond à un nombre réel |x| qui, élevé au cube, donne |y.| ||\sqrt[\large{3}]{y} = x\ \Longleftrightarrow\ x^3=y||
En résumé, extraire une racine cubique et élever un nombre au cube sont des opérations inverses.
La racine cubique de |125| est |5,| car |5| au cube égale |125.| ||\sqrt[\large{3}]{125} = 5\ \Longleftrightarrow\ 5^3=125||
On peut utiliser une racine cubique pour isoler une variable affectée d’un exposant 3 dans une équation. C’est donc utile pour trouver une mesure manquante dans un solide à partir du volume.
||\begin{align} c^3 &= 2\ 197\\ \color{#ec0000}{\sqrt[\large{3}]{\color{black}{c^3}}}&=\color{#ec0000}{\sqrt[\large{3}]{\color{black}{2\ 197}}}\\ c &= 13\end{align}||
Contrairement à la racine carrée, il est possible de calculer la racine cubique d'un nombre négatif. D’ailleurs, dans l’ensemble des réels, il est toujours possible de calculer une racine de degré impair, que le radicande soit positif ou négatif, alors que pour les racines de degré pair, le radicande doit être positif.
||\begin{align}(\boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}4)^3 &= \boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}4 \times \underline{\boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}4 \times \boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}4}\\[2pt] &=\underline{\boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}4\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{+}}16}\\[2pt] &= \boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}64\end{align}||Ainsi, la racine cubique de |-64| vaut |-4| puisque |-4| au cube vaut |-64.| ||\sqrt[\large{3}]{-64} = -4\ \Longleftrightarrow\ (-4)^3=-64||
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