Tracer une fonction racine carrée

Le tableau ci-dessous indique l’allure de la courbe selon le rôle des paramètres |\color{#3B87CD}{a}| et |\color{#EC0000}{b}| de la fonction racine carrée.

	|\color{#EC0000}{b}<0|	|\color{#EC0000}{b}>0|
|\color{#3B87CD}{a}>0|	La fonction est définie en haut et à gauche du sommet.	La fonction est définie en haut et à droite du sommet.
|\color{#3B87CD}{a}<0|	La fonction est définie en bas et à gauche du sommet.	La fonction est définie en bas et à droite du sommet.

1. Placer le sommet aux coordonnées |(\color{#51B6C2}{0},\color{#FA7921}{0})| et déterminer l’allure de la courbe en analysant les paramètres |\color{#3B87CD}{a}| et |\color{#EC0000}{b}.|

2. Calculer et placer des points supplémentaires.

3. Tracer la fonction racine carrée.

On veut tracer la fonction |f(x)=2\sqrt{-3x}.|

2. Calculer et placer des points supplémentaires

On doit choisir des valeurs de |\color{#3a9a38}{x}| et calculer leur |\color{#3a9a38}{f(x)}| associée. Comme on sait que le courbe est à gauche du sommet, on choisit des valeurs de |\color{#3a9a38}{x}| négatives. On prend d’abord |\color{#3a9a38}{x}=\color{#3a9a38}{-2}.|||\begin{align}f(\color{#3a9a38}{x})&=2\sqrt{-3\color{#3a9a38}{x}}\\ f(\color{#3a9a38}{-2})&=2\sqrt{-3(\color{#3a9a38}{-2})}\\ f(\color{#3a9a38}{-2})&=2\sqrt{6}\\ \color{#3a9a38}{f(-2)}&\approx\color{#3a9a38}{4{,}9}\\ \end{align}||Plus il y a de points dont on connait les coordonnées, plus le tracé de la courbe est précis. Ainsi, avec |\color{#3a9a38}{x}=\color{#3a9a38}{-3}| et |\color{#3a9a38}{x}=\color{#3a9a38}{-12},| on obtient les points |(-3,6)| et |(-12,12).|

Lorsqu’on choisit des valeurs de |x| pour placer des points supplémentaires dans le plan cartésien, il est préférable de s’assurer que le résultat sous la racine est un nombre carré. Ceci permet d’éviter d’avoir des coordonnées approximatives.

Dans l’exemple précédent, |x=-2| n’est pas le meilleur choix, car |-3\times-2=6.| Effectivement, |6| n’est pas un nombre carré, car |\sqrt{6}\approx2{,}45.| Par contre, |x=-3| et |x=-12| donnent respectivement |9| et |36| sous la racine, deux nombres carrés.

1. Placer le sommet aux coordonnées |(\color{#51B6C2}{h},\color{#FA7921}{k})| et déterminer l’allure de la courbe en analysant les paramètres |\color{#3B87CD}{a}| et |\color{#EC0000}{b}.|

2. Calculer et placer des points supplémentaires.

3. Tracer la fonction racine carrée.

À l’étape 3, bien que ce ne soit pas toujours possible, il est préférable de calculer la valeur du zéro (l’abscisse à l’origine) et de l’ordonnée à l’origine.

On veut tracer la fonction |f(x)=-3\sqrt{x-2}+6.|

2. Calculer et placer des points supplémentaires

De l’image précédente, on déduit que toutes les courbes potentielles croisent l’axe des |x.| Ceci implique que la fonction possède assurément un abscisse à l’origine. Par contre, il n’y a pas d’ordonnée à l’origine, car aucune des courbes ne croise l’axe des |y.| On remplace |f(x)| par |0| afin de calculer l’abscisse à l’origine.||\begin{align}\color{#3a9a38}{f(x)}&=-3\sqrt{x-2}+6\\ \color{#3a9a38}{0}&=-3\sqrt{x-2}+6\\ -6&=-3\sqrt{x-2}\\ 2&=\sqrt{x-2}\\ 4&=x-2\\ 6&=x\\ \end{align}||Ainsi, la courbe a un zéro à |(6,0).| Quant à l’ordonnée à l’origine, la fonction |f(x)=-3\sqrt{x-2}+6| n’en possède pas. En effet, en remplaçant |x| par |0,| on obtient |\sqrt{-2},| ce qui est impossible.

On calcule les coordonnées de quelques points supplémentaires afin d’avoir un tracé plus précis. Comme on sait que le courbe est à droite du sommet, on choisit des valeurs de |x| supérieures à |2.| On prend d’abord |x=11.|||\begin{align}f(\color{#3a9a38}{x})&=-3\sqrt{\color{#3a9a38}{x}-2}+6\\ f(\color{#3a9a38}{11})&=-3\sqrt{\color{#3a9a38}{11}-2}+6\\ f(11)&=-3\sqrt{9}+6\\ f(11)&=-3\times3+6\\ \color{#3a9a38}{f(11)}&=\color{#3a9a38}{-3}\\ \end{align}||De la même manière, avec |x=18,| on obtient un autre point dont les coordonnées sont |(18,-6).|