La résolution de problèmes impliquant la fonction affine

||y=ax+b||où
|a :| taux de variation
|b :| ordonnée à l’origine

1. Identifier la variable indépendante et la variable dépendante.

2. Trouver la règle.

   1. Trouver le paramètre a.

   2. Trouver le paramètre b.

3. Remplacer la donnée fournie dans la règle.

4. Isoler l’autre variable.

5. Répondre à la question.

• Pour bien visualiser la situation, il est aidant de tracer la fonction dans un plan cartésien ou de se faire une esquisse de la situation. Bien que le graphique ne soit pas assez précis pour obtenir une réponse, il permet de vérifier que les données trouvées fonctionnent dans le contexte de la situation.

• Il arrive que le taux de variation et la valeur initiale soient fournis directement dans la mise en situation. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de les calculer.

Éric vient de trouver un nouvel emploi comme cueilleur de fraises à l’Île d’Orléans. Lors de sa première journée, il remarque que l'ancien cueilleur lui a laissé un certain nombre de paniers de fraises. À la fin de la journée, il y a déjà un total de |31| paniers remplis.

Considérant qu’Éric travaille |6| heures par jour et qu’il est capable de remplir |3| paniers en |1| heure, réponds aux questions suivantes.

Question 1 : Quel sera le nombre total de paniers de fraises remplis après |5| jours de travail?
Question 2 : Après combien de jours de travail aura-t-il rempli un total de |157| paniers?

1. Identifier la variable indépendante et la variable dépendante
   On s’intéresse à la quantité de paniers de fraises remplis en fonction du temps. 
   |x :| temps (en heures)
   |y :| nombre de paniers de fraises remplis

2. Trouver la règle

   1. Trouver le paramètre |\boldsymbol{a}|
      On indique dans le problème qu’Éric remplit |3| paniers chaque heure. Il s’agit du taux de variation.||a=3||

   2. Trouver le paramètre |\boldsymbol{b}|
      L’ordonnée à l’origine représente la valeur initiale. Dans le contexte, cela signifie la quantité de paniers de fraises qui étaient remplis avant même qu’Éric commence sa première cueillette. Pour la trouver, on remplace, dans la règle, le paramètre |a| par |3| et on remplace |x| et |y| par un couple fourni. On sait qu’après sa première journée, il y a |31| paniers. De plus, comme il travaille |6| heures par jour, on en déduit le couple |(6,31).|||\begin{align}y&=ax+b\\y&=3x+b\\\\\color{#3a9a38}{31}&=3(\color{#3a9a38}6)+b\\31&=18+b\\31\color{#ec0000}{-18}&=18+b\color{#ec0000}{-18}\\13&=b\end{align}||

   La règle de la fonction est donc |y=3x+13.|

Question 1 : Quel sera le nombre total de paniers de fraises remplis après |\boldsymbol{5}| jours de travail? 

3. Remplacer la donnée fournie dans la règle
   La donnée fournie est une donnée de temps, donc une valeur de |x.| On doit ainsi remplacer |x| dans la règle et trouver la valeur de |y| correspondante. Toutefois, il est d’abord nécessaire de convertir |5| jours en heures, puisque les unités de mesure du taux de variation sont des |\text{paniers/heure}.| Comme Éric travaille |6| heures par jour, |5| jours représentent |5\times6=30| heures de travail. On remplace donc |x| par |30.|||y=3(30)+13||

4. Isoler l’autre variable
   Puisque |y| est déjà isolé, on complète seulement le calcul.||\begin{align}y&=3\times30+13\\&=90+13\\&=103\end{align}||

5. Répondre à la question
   Après |5| jours de travail, il y aura un total de |103| paniers de fraises.

Question 2 : Après combien de jours de travail aura-t-il rempli un total de |\boldsymbol{157}| paniers?

3. Remplacer la donnée fournie dans la règle
   La donnée fournie est un nombre de paniers, donc une valeur de |y.| On doit ainsi remplacer |y| dans la règle et trouver la valeur de |x| correspondante. ||157=3x+13||

4. Isoler l’autre variable
   ||\begin{align}157&=3x+13\\157\color{#ec0000}{-13}&=3x+13\color{#ec0000}{-13}\\144&=3x\\\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{144}}{3}}&=\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{3x}}{3}}\\48&=x\end{align}||

5. Répondre à la question
   On sait qu’après |48| heures de travail, il y aura |157| paniers. Par contre, la question demande un nombre de jours. Il faut donc diviser le nombre d’heures par |6,| puisqu’Éric travaille |6| heures par jour. ||48\ \text{heures}\div6\ \text{heures/jour}=8\ \text{jours}|| Il y aura donc |157| paniers de fraises remplis après |8| jours de travail.

Henri est laveur de vitres. Une compagnie veut l’engager pour nettoyer les vitres de son bureau dans un gratte-ciel situé au centre-ville. Elle lui propose 2 options de rémunération.

1. Un montant fixe de |2\ 205\ $,| peu importe le nombre de vitres nettoyées.

2. Un montant de base de |500\ $| avec un supplément de |2{,}75\ $| par vitre nettoyée.

Sachant que le gratte-ciel en question comporte |593| vitres, réponds aux questions suivantes.

Question 1 : Quelle option est la plus avantageuse pour Henri? 
Question 2 : Combien de vitres doit nettoyer Henri pour que les 2 options soient équivalentes?

Virginie et Gabrielle aiment beaucoup la lecture et elles lisent le même roman en même temps. Au moment où elles se parlent du livre pour la 1^re fois, Virginie avait déjà lu |50| pages et elle lisait à un rythme de |28| pages tous les |5| jours. Gabrielle avait lu |36| pages et était rendue à |78| pages après |6| jours. On suppose que le rythme de lecture des |2| amies ne change pas tout au long de la lecture. Réponds aux questions suivantes.

Question 1 : Si le livre comporte |246| pages, qui le terminera en premier?
Question 2 : À ce moment-là, combien de pages restera-t-il à lire à l’autre amie?