Résoudre une équation ou une inéquation logarithmique

Une équation ou une inéquation logarithmique contient une variable dans l’argument du logarithme.

Puisque l’argument d’un logarithme doit être strictement supérieur à |0,| il faut poser des restrictions à la variable de l’équation afin que le ou les logarithme(s) de l’équation aient un argument positif.

Ces restrictions doivent être posées avant de résoudre l’équation logarithmique.

1. Calculer les restrictions.

2. Réduire l’expression à l’aide des lois des logarithmes, au besoin.

3. Passer à la forme exponentielle.

4. Résoudre l’équation.

5. Valider la ou les solution(s).

6. Donner la solution.

Résous l'équation |\log_2(x+2)=4.|

1. Calculer les restrictions
   ||\begin{align}x+2&>0\\ x &> -2 \end{align}||

2. Réduire l’expression
   L’expression est déjà réduite.

3. Passer à la forme exponentielle
   ||\begin{align}\log_\color{#3B87CD}2(\color{#EC0000}{x+2})&=\color{#3A9A38}4\\ \Updownarrow \\\color{#EC0000}{x+2}&= \color{#3B87CD}2^\color{#3A9A38}4\end{align}||

4. Résoudre l’équation
   ||\begin{align}x+2 &= 2^4\\ x+2 &= 16\\ x &= 14\end{align}||

5. Valider la solution
   La restriction est respectée, car |14>-2.| 

6. Donner la solution
   La solution est |x=14.|

Il y a 2 façons de valider la solution obtenue.

1. S’assurer que la solution respecte la restriction déterminée à l’étape 1, comme le montre l’exemple précédent.

2. Substituer la solution dans l’équation de départ. Dans l’exemple précédent, on remplace la variable |x| dans l’équation de départ et on s’assure que le membre de gauche est équivalent au membre de droite.
   ||\begin{align}\log_2(\color{#3B87CD}x+2)&=4\\ \log_2(\color{#3B87CD}{14}+2)&\overset{?}{=}4\\ \log_2(16)&\overset{?}{=}4\\ 4&=4\end{align}||La solution est bel et bien valide.

Résous l'équation |\log_6 (x-1) + \log_6 (x) =1.|

1. Calculer les restrictions
   Puisque l’équation comporte 2 logarithmes comprenant la variable, on a 2 restrictions à calculer. ||\begin{align}x-1&>0 \\ x&>1\\\\ x&>0\end{align}||On ne retient que |x>1| pour la suite, car cette restriction a priorité sur |x>0.|

2. Réduire l’expression à l’aide des lois des logarithmes
   Comme les 2 logarithmes ont la même base, on utilise la loi du logarithme d’un produit. ||\begin{align}\log_6 (x-1) + \log_6 (x)&=1\\\ \log_6 \big((x-1)\times x\big)&=1\\ \log_6 (x^2-x)&=1  \end{align}||

3. Passer à la forme exponentielle
   ||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}6} (\color{#ec0000}{x^2-x})&=\color{#3a9a38}1\\ \Updownarrow\\ \color{#ec0000}{x^2-x}&=\color{#3b87cd}6^\color{#3a9a38}1\end{align}||

4. Résoudre l’équation
   ||\begin{gather}x^2-x=6^1\\ x^2-x-6=0\\ (x-3)(x+2)=0\\ \overbrace{ \begin{aligned} x-3&=0\\x_1&=3 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} x+2&=0\\x_2&=-2 \end{aligned} } \end{gather}||

5. Valider les solutions
   La restriction est respectée pour |x_1=3,| car |3>1.| Toutefois, elle n’est pas respectée pour |x_2=-2,| car |-2\not >1.| On rejette |x_2= -2.|

6. Donner la solution
   La solution est |x=3.|

Résous l'équation |\log(x-3)=\log(6x).|

1. Calculer les restrictions
   Puisque l’équation comporte 2 logarithmes comprenant la variable, on a 2 restrictions à calculer. ||\begin{align}x-3&>0\\x&>3\\\\ 6x&>0 \\ x&>0\end{align}||On ne retient que |x>3| pour la suite, car cette restriction a priorité sur |x>0.|

2. Réduire l’expression à l’aide des lois des logarithmes
   ||\begin{align}\log (x-3) &= \log (6x)\\ \log (x-3)-\log(6x)&=0\end{align}||Comme les 2 logarithmes ont la même base, on utilise la loi du logarithme d’un quotient. ||\begin{align}\log (x-3)-\log(6x)&=0\\\log \left(\dfrac{x-3}{6x}\right)&=0\end{align}||

3. Passer à la forme exponentielle
   Ici, la base du logarithme n’est pas écrite. Quand c’est le cas, par convention, elle vaut 10. ||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{10}}  \left(\color{#ec0000}{\dfrac{x-3}{6x}}\right)&=\color{#3a9a38}0\\ \Updownarrow\\ \color{#ec0000}{\dfrac{x-3}{6x}}&=\color{#3b87cd}{10}^\color{#3a9a38}0\end{align}||

4. Résoudre l’équation
   ||\begin{align}\dfrac{x-3}{6x}&=10^0\\\dfrac{x-3}{6x}&=1\\x-3&=6x\\-3&=5x\\-0{,}6&=x \end{align}||

5. Valider la solution
   La restriction n’est pas respectée, car |-0{,}6\not >3.| Ainsi, il n’y a pas de solution.

6. Donner la solution
   Cette équation n’a pas de solution.

Résous l'équation |\log_4 (x^2+14x) = 1.|

1. Calculer les restrictions
   ||\begin{align} x^2+14x&>0\\ x(x+14)&>0\end{align}||Pour que le produit des facteurs |x| et |(x+14)| soit positif, il faut que ces facteurs soient de même signe. C’est le cas lorsque |x>0| et lorsque |x<-14.|

2. Réduire l’expression
   L’expression est déjà réduite.

3. Passer à la forme exponentielle
   ||\begin{align}\log_\color{#3b87cd}4 (\color{#ec0000}{x^2+14x})&=\color{#3a9a38}1\\ \Updownarrow\\\color{#ec0000}{x^2+14x} &= \color{#3b87cd}4^\color{#3a9a38}1\end{align}||

4. Résoudre l’équation
   ||\begin{align}x&^2+14x=4^1\\ x&^2+14x-4=0\\\\ x&= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}\\x&= \dfrac{-14\pm \sqrt{14^2- 4(1)(-4)}}{2(1)}\\ x&= \dfrac{-14\pm \sqrt{212}}{2}\\ x_1&\approx 0{,}28 \qquad x_2\approx -14{,}28\end{align}||

5. Valider la solution
   Les restrictions sont respectées, car |0{,}28>0| et |-14{,}28<-14.|

6. Donner l'ensemble-solution
   L'ensemble-solution est |x\in\{-14{,}28; 0{,}28\}.|

Des logarithmes de même base sont égaux si et seulement si les arguments ont la même valeur. ||\log_c (a) = \log_c (b)\ \Leftrightarrow\ a=b||

Résous l'équation |2\log_4 (x) - \log_4 (x+4) = \log_4 (x-2).|

1. Calculer les restrictions
   ||\begin{align}x&>0\\\\ x+4&>0\\x&>-4\\\\x-2&>0\\x&>2\end{align}||On ne retient que |x>2| pour la suite, car cette restriction a priorité sur |x>-4| et |x>0.|

2. Réduire l’expression à l’aide des lois des logarithmes
   Pour le premier logarithme, on utilise la loi du logarithme d’une puissance. ||2\log_4 (x)=\log_4(x^2)|| Comme les 2 logarithmes à gauche de l’égalité ont la même base, on utilise la loi du logarithme d’un quotient. ||\begin{align}\log_4 (x^2)-\log_4(x+4)&=\log_4(x-2)\\ \log_4 \left(\dfrac{x^2}{x+4}\right)&=\log_4(x-2)\end{align}||Comme les 2 logarithmes de chaque côté de l’égalité ont la même base, les 2 arguments ont nécessairement la même valeur. On se retrouve avec cette nouvelle équation. ||\dfrac{x^2}{x+4} = x-2||

3. Passer à la forme exponentielle
   Dans ce cas, cette étape est inutile.

4. Résoudre l’équation
   ||\begin{align}\dfrac{x^2}{x+4} &= x-2\\ x^2&=(x-2)(x+4)\\x^2&=x^2+2x-8\\0&=2x-8\\-2x&=-8\\x&=4\end{align}||

5. Valider la solution
   La restriction est respectée, car |4>2.|

6. Donner la solution
   La solution est |x=4.|

Résous l’équation |2^{\log_2 5} + 5^{\log_5 3x} = 6^{\log_6 8}.|

1. Calculer les restrictions
   Puisque l’équation comporte un seul logarithme comprenant une variable, on a seulement une restriction à calculer. ||\begin{align}3x&>0\\x&>0\end{align}||

2. Réduire l’expression à l’aide des lois des logarithmes
   Selon la définition des logarithmes, |\log_2 5| est l’exposant que l’on doit donner à |2| pour obtenir |5.| Puisque cette même expression est en exposant à |2,| on a nécessairement |2^{\log_2 5}=5.| De façon générale, on a |c^{\log_c m} = m.| En appliquant cette identité logarithmique à tous les termes de l’équation, on obtient : ||\begin{align}2^{\log_2 5} + 5^{\log_5 3x}&=6^{\log_6 8}\\5 + 3x &= 8\end{align}||

3. Passer à la forme exponentielle
   Dans ce cas, cette étape est inutile.

4. Résoudre l’équation
   ||\begin{align}5 + 3x &= 8\\3x&=3\\x&=1\end{align}||

5. Valider la solution
   La restriction est respectée, car |1>0.|

6. Donner la solution
   La solution est |x=1.|

1. Remplacer le symbole d’inégalité par le symbole d’égalité.

2. Calculer les restrictions.

3. Réduire l’expression à l’aide des lois des logarithmes, au besoin.

4. Passer à la forme exponentielle.

5. Résoudre l’équation.

6. Valider la ou les solution(s) de l’équation.

7. Déterminer l’ensemble-solution à l’aide d’un graphique ou d’une droite numérique.

Résous l'inéquation |\log_2 (x-2) \geq 4.|

1. Remplacer le symbole d’inégalité par le symbole d’égalité
   ||\log_2 (x-2) = 4||

2. Calculer les restrictions
   ||\begin{align}x-2 &>0\\ x&>2\end{align}||

3. Réduire l’expression
   L’expression est déjà réduite.

4. Passer à la forme exponentielle
   ||\begin{align}\log_\color{#3b87cd}2 (\color{#ec0000}{x-2}) &= \color{#3a9a38}4\\\color{#ec0000}{x-2}&=\color{#3b87cd}2^\color{#3a9a38}4\end{align}||

5. Résoudre l’équation
   ||\begin{align}x-2&=2^4\\x-2&=16\\x&=18\end{align}||

6. Valider la solution
   La restriction est respectée, car |18>2.|

7. Déterminer l’ensemble-solution
   Pour déterminer l’ensemble-solution, on peut tracer le graphique de la fonction logarithmique.

Pour déterminer l’ensemble-solution (étape 7), il est également possible d’utiliser une droite numérique. Voici comment on peut résoudre l'exemple précédent à l'aide de cette méthode.

On trace une droite numérique et on y place la restriction déterminée à l’étape 2. Comme |x>2,| |2| est exclu, on le représente sur la droite avec un point vide. On place aussi la solution obtenue à l’étape 5. Puisque cette solution est incluse (étant donné que le symbole d’inéquation de départ est |\geq|), on utilise un point plein.

On appelle |2| et |18| des valeurs critiques. Elles séparent la droite en 3 sections : |]-\infty, 2[,| |]2, 18]| et |[18, +\infty[.|

Pour chaque section, il faut remplacer |x| dans l’inéquation de départ par une valeur quelconque de l’intervalle. Si l’inéquation est respectée, l’intervalle fait partie de l’ensemble-solution, si ce n’est pas le cas, il n’en fait pas partie.

• Pour l’intervalle |]-\infty, 2[,| on remplace |x| par |0.| ||\begin{align}\log_2 (\color{#3b87cd}x-2) \geq 4\\ \log_2 (\color{#3b87cd}0-2) \overset{?}{\geq} 4 \end{align}||On ne peut pas poursuivre la résolution puisque l’argument du logarithme est négatif, ce qui est impossible. Ainsi, l’intervalle |]-\infty, 2[| ne fait pas partie de l’ensemble-solution.

• Pour l’intervalle |]2, 18],| on remplace |x| par |3.| En faisant les calculs, on arrive à |0 \geq 4,| ce qui est impossible. Ainsi, l’intervalle |]2, 18]| ne fait pas partie de l’ensemble-solution.

• Pour l’intervalle |[18, +\infty[,| on remplace |x| par |34.| En faisant les calculs, on arrive à |5\geq\ 4,| ce qui est vrai. Ainsi, l’intervalle |[18, +\infty[| fait partie de l’ensemble-solution.

L’ensemble-solution correspond bel et bien à  |[18, +\infty[.|
On peut colorier la section qui correspond à l’ensemble-solution.

Résous l'inéquation |- \log_3 (2x-1) + 5 > 2.|

1. Remplacer le symbole d’inégalité par le symbole d’égalité
   ||- \log_3 (2x-1) + 5=2||

2. Calculer les restrictions
   ||\begin{align}2x-1&>0\\2x&>1\\x&>\dfrac{1}{2}\end{align}||

3. Réduire l’expression
   ||\begin{align}-\log_3 (2x-1) + 5&=2\\-\log_3 (2x-1)&=-3\\\log_3 (2x-1)&=3\end{align}||

4. Passer à la forme exponentielle
   ||\begin{align}\log_\color{#3b87cd}3 (\color{#ec0000}{2x-1})&=\color{#3a9a38}3\\\Updownarrow\\\color{#ec0000}{2x-1}&=\color{#3b87cd}3^\color{#3a9a38}3\end{align}||

5. Résoudre l’équation
   ||\begin{align}2x-1&=27\\2x&=28\\x&=14\end{align}||

6. Valider la solution
   La restriction est respectée, car |14>\dfrac{1}{2}.|

7. Déterminer l’ensemble-solution