L'aire des pyramides

Quelle est l'aire de la base de la pyramide régulière suivante?

1. Identifier la face concernée
   Dans cet exemple, la base est un hexagone régulier.

2. Appliquer la formule appropriée
   Puisque cette figure plane fait partie des polygones réguliers, on applique la formule : ||\begin{align} A_b &=A_{\text{polygones réguliers}}\\\\&= \dfrac{\color{#51B6C2}{c} \times \color{#3A9A38}{a_b} \times n}{2}\\\\&= \dfrac{\color{#51B6C2}{5} \times \color{#3A9A38}{4{,}33} \times 6}{2}\\\\&= 64{,}95 \ \text{cm}^2 \end{align}||

3. Interpréter la réponse
   Puisqu'il n'y a aucun contexte qui entoure le problème, on affirme simplement que l'aire de la base de cette pyramide est de |64{,}95\ \text{cm}^2.|

Dans le cas d’une pyramide régulière dont la base est un polygone régulier, il faut faire attention de ne pas confondre l’apothème de la base avec celui de la pyramide.

Comme l’apothème est généralement identifié par la variable |a,| il est suggéré de les différencier en y ajoutant un indice. Ainsi, l’apothème de la pyramide devient |a_p| et l’apothème de la base devient |a_b.| Le choix de l’indice ou de la façon d’identifier ces 2 mesures peut différer.

||A_L = \dfrac{P_b \times a_p}{2}|| où ||\begin{align}A_L&:\text{Aire latérale}\\P_b&:\text{Périmètre de la base}\\a_p &: \text{apothème de la pyramide}\end{align}||

Afin de garder certaines des pyramides d'Égypte ouvertes au public, on doit restaurer leur façade. Pour préparer un appel d’offres en bonne et due forme aux différentes compagnies, on veut connaitre la superficie des surfaces à restaurer de la pyramide à base carrée de Khéphren.

1. Identifier le solide
   Il s'agit d'une pyramide à base carrée. On cherche donc l’aire latérale d’une pyramide régulière.

2. Appliquer la formule d'aire latérale du solide identifié ||\begin{align} A_L &=\dfrac{P_b \times \color{#FA7921}{a_p}}{2}\\\\&=\dfrac{(215+215+215+215) \times \color{#FA7921}{179{,}30}}{2}\\\\&= 77\ 099 \ \text{m}^2\end{align}||

3. Interpréter la réponse
   La superficie des surfaces à restaurer équivaut à |77\ 099\ \text{m}^2.|

Remarque : La même réponse aurait été trouvée en calculant l'aire d'une face latérale (un triangle) et en la multipliant par 4 puisqu'il s'agit d'une pyramide à base carrée.

Démonstration de la formule de l'aire latérale d'une pyramide régulière

On utilise donc la formule habituelle de l’aire d’un triangle, c’est-à-dire |A = \dfrac{b\times h}{2}.| Sur la figure, comme la base du grand triangle correspond au périmètre de la base, on remplace |b| par |P_b| et comme la hauteur du triangle correspond à l’apothème de la pyramide, on remplace |h| par |a.| Ainsi, on obtient la formule de l’aire latérale d’une pyramide régulière présentée plus haut. ||\begin{align} \color{#333FB1}{A_L} &= \text{Aire du grand triangle} \\ &= \dfrac{\color{#FA7921}b \times \color{#EC0000}{h}}{2} \\ &= \dfrac{\color{#FA7921}{P_b}\times \color{#EC0000}{a}}{2} \end{align}||

Calcule l’aire latérale de la pyramide rectangulaire suivante.

1. Identifier le solide
   Il s'agit d'une pyramide à base rectangulaire. On ne peut donc pas utiliser la formule de l’aire latérale d’une pyramide régulière, il faut calculer les 4 faces latérales séparément. ||\begin{align} A_{\triangle\ \text{avant}} &= A_{\triangle\ \text{arrière}}= \dfrac{\color{#3A9A38}{b_1}\times \color{#EC0000}{h_1}}{2} \\\\ A_{\triangle\ \text{de droite}} &= A_{\triangle\ \text{de gauche}}= \dfrac{\color{#51b6c2}{b_2}\times \color{#FA7921}{h_2}}{2} \\\\ A_L &= 2\times A_{\triangle\ \text{avant}} + 2 \times A_{\triangle\ \text{de droite}}\end{align}||

2. Appliquer la formule d'aire latérale du solide identifié ||\begin{align} A_{\triangle\ \text{avant}} &= \dfrac{\color{#3A9A38}{15}\times \color{#EC0000}{{9{,}60}}}{2} \\ &= 72\ \text{cm}^2 \\\\ A_{\triangle\ \text{de droite}} &= \dfrac{\color{#51b6c2}{5}\times \color{#FA7921}{11{,}92}}{2} \\ &=29{,}8\ \text{cm}^2 \\\\ A_L &= 2\times A_{\triangle\ \text{avant}} + 2 \times A_{\triangle\ \text{de droite}} \\ &= 2 \times 72 + 2 \times 29{,}8 \\ &= 203{,}6\ \text{cm}^2 \end{align}||

3. Interpréter la réponse
   L’aire latérale de la pyramide est de |203{,}6\ \text{cm}^2.|

||A_T = A_L + ​A_b|| où ||A_T: \text{Aire totale}||

Pour recouvrir les dés en forme de tétraèdre régulier​ d'un jeu de Donjons et Dragons, on veut utiliser un matériau particulier pour assurer leur solidité.

Si on veut recouvrir 150 de ces dés, quelle quantité de matériau sera nécessaire?

1. Identifier les faces concernées
   Comme on recouvre entièrement les dés, on doit calculer la superficie des 4 faces, soit l’aire totale.

2. Calculer l'aire de la base
   Puisqu'il s'agit d'un tétraèdre régulier, toutes les faces sont des triangles équilatéraux isométriques. Ainsi, ||\begin{align} A_b &= \dfrac{\color{#3B87CD}b \times \color{#EC0000}h}{2} \\ &= \dfrac{\color{#3B87CD}{1{,}5} \times \color{#EC0000}{1{,}3}}{2} \\ &= 0{,}975 \ \text{cm}^2\end{align}||

3. Calculer l'aire latérale
   Puisque le tétraèdre fait partie du groupe des pyramides régulières, ||\begin{align} A_L &= \dfrac{\color{#3b87cd}{P_b} \times \color{#ec0000}a}{2} \\ &= \dfrac{(\color{#3b87cd}{1{,}5} + \color{#3b87cd}{1{,}5} + \color{#3b87cd}{1{,}5}) \times \color{#ec0000}{1{,}3}}{2}\\ &= 2{,}925 \ \text{cm}^2\end{align}||

4. Calculer l'aire totale ||\begin{align} A_T &= A_L + A_b \\ &= 2{,}925 + 0{,}975\\ &= 3{,}9 \ \text{cm}^2 \end{align}||

5. Interpréter la réponse
   Puisqu'on veut recouvrir 150 de ces dés, la superficie totale est de |3{,}9\ \text{cm}^2/\text{dé} \times 150\ \text{dés}= 585\ \text{cm}^2.|

||A_T=4\times\dfrac{b\times h}{2}|| où ||\begin{align} b &: \text{arête ou base d’un triangle} \\ h &: \text{apothème ou hauteur d’un triangle} \\ A_T &: \text{Aire totale du tétraèdre} \end{align}||

Trouver la mesure de l'apothème à partir de la hauteur

Dans le cas d'une pyramide droite, on peut obtenir un triangle rectangle en traçant l’apothème de la pyramide, la hauteur de la pyramide et le segment reliant le centre de la base et le milieu du côté de la base.

Puisque la hauteur est au centre de la base et que c'est une pyramide droite, la mesure de la cathète est la moitié de la mesure du côté de la base.

En associant la mesure d'une cathète avec la moitié de celle d'un côté de la base, l'autre cathète avec celle de la hauteur de la pyramide et l’hypoténuse avec celle de l'apothème,​ on a assez d'informations pour utiliser la relation de Pythagore : ||\begin{align} \color{#3A9A38}{a}^2 + \color{#EC0000}{b}^2 &= \color{#51B6C2}{c}^2\\\\ \color{#3A9A38}{6}^2 + \color{#EC0000}{8}^2 &= \color{#51B6C2}{a}^2\\ 100 &= \color{#51B6C2}{a}^2\\ 10\ \text{cm} &​= \color{#51B6C2}{a} \end{align}||Donc, l'apothème de la pyramide est de |10\ \text{cm}.|

Lorsqu'on utilise plusieurs concepts simultanément, il faut faire attention pour ne pas s'y perdre dans l'utilisation des variables. Sur la pyramide, |\boldsymbol{\color{#51B6C2}{a}}| fait référence à l'apothème, alors que dans le théorème de Pythagore, c'est la variable |\boldsymbol{\color{#51B6C2}{c}}| qui ​fait référence à ce segment. Bref, pour bien comprendre les deux exemples, l'utilisation des couleurs aide grandement à associer les nombres aux segments qu'ils représentent.​