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Il est possible de réduire une expression algébrique en multipliant les termes qu'elle contient. Multiplier deux polynômes ensemble revient à multiplier chacun des termes du premier polynôme par chacun des termes du second.
On peut définir trois étapes à suivre pour la multiplication d'expressions algébriques :
Réduire l'expression, s'il y a lieu, en additionnant ou en soustrayant les termes semblables (avant d'effectuer la multiplication).
Effectuer les multiplications.
Réduire l'expression obtenue, s'il y a lieu, en additionnant ou en soustrayant les termes semblables.
Pour effectuer la multiplication d'expressions algébriques, deux règles importantes sont à suivre : ces règles se basent sur la commutativité de la multiplication.
A. On multiplie les nombres entre eux et les variables entre elles. ||3x \times 4y = 3 \times 4 \times x\times y = 12xy|| B. Lorsqu'on multiplie ensemble deux variables identiques, on additionne leur exposant. ||x^2y^3\times x^3y^7 = x^2 \times x^3 \times y^3\times y^7 = x^{(2+3)}\times y^{(3+7)} = x^5y^{10}||
Tous les termes, qu'ils soient semblables ou non, peuvent être multipliés entre eux. Par contre, seuls les termes semblables peuvent être additionnés ou soustraits ensemble.
Il est rare qu'une équation soit formée uniquement de multiplications. Il faudra, dans ce cas, respecter la priorité des opérations lors de la réduction de l'expression algébrique.
Pour multiplier des expressions algébriques, il est essentiel de bien maitriser les propriétés et les lois des exposants. De plus, on doit appliquer le principe de la distributivité. Lors de la multiplication d'expressions algébriques, plusieurs situations peuvent se présenter :
Lorsqu’on multiplie un monôme par un monôme, on multiplie les coefficients ensemble et on additionne les exposants des variables identiques.
Lorsqu’on multiplie un terme constant par un monôme, on multiplie le coefficient du monôme par le terme constant.
Soit le terme constant |-3| et le monôme |4xy^2|.
Effectue la multiplication |-3\times 4xy^2|.
On multiplie le terme constant avec le coefficient du monôme : ||-3 \times 4 = -12||On inscrit la réponse finale en ajoutant les variables mises de côté temporairement: ||-3\times 4xy^2 = -12xy^2||
Lorsqu’on multiplie deux monômes ensemble, on multiplie les coefficients des deux monômes et on additionne les exposants affectant les variables identiques.
Soit les deux monômes suivants : |-3x^3y^4| et |4xy^2|.
On effectue la multiplication |-3x^{3}y^4\times 4xy^2|.
On multiplie ensemble les coefficients : ||-3\times 4 = -12||
On additionne les exposants des mêmes variables : ||x^{(3+1)}\quad \text{et}\quad y^{(4+2)}||
On inscrit la réponse finale : ||-3x^{3}y^4\times 4xy^{2} = -12x^{4}y^{6}||
Voici la démarche détaillée : ||\begin{align} -3x^{3}y^4 \times 4xy^2 &= (-3\times {4}) {(x^{3}\times {x})}{(y^{4}\times {y^{2}})}\\
&=(-12){(x^{3+1})}{(y^{4+2})}\\
&=(-12){(x^{4})}{(y^{6})}\\
&=-12x^{4}y^{6}\end{align}||