Matières
Niveaux
||\sqrt[\Large{\color{#3b87cd}{\textbf{index}}}]{\color{#ec0000}{\textbf{radicand}}}= \color{#3a9a38}{\textbf{root}}||
De façon générale, on obtient ceci :
La racine carrée d'un nombre |y| correspond à un nombre réel positif |x| qui, élevé au carré, donne |y.| ||\sqrt{y} = x\ \Longleftrightarrow\ x^2=y||
En résumé, extraire une racine carrée et élever au carré sont des opérations inverses.
La racine carrée de |49| est |7,| car |7| au carré égale |49.| ||\sqrt{49} = 7\ \Longleftrightarrow\ 7^2=49||
On peut utiliser une racine carrée pour isoler une variable affectée d’un exposant 2 dans une équation. C’est donc utile pour trouver une mesure manquante dans une figure plane à partir de l’aire.
||\begin{align} c^2 &= 184{,}96\\ \color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{c^2}}}&=\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{184{,}96}}}\\ c &= 13{,}6\end{align}||
Dans l’ensemble des nombres réels |(\mathbb{R}),| on ne peut pas calculer la racine carrée des nombres négatifs.
En effet, à cause de la loi des signes, un nombre élevé au carré, qu’il soit positif ou négatif, donne toujours un résultat positif. Par exemple, |5^2= 5 \times 5 = 25| et |(-5)^2=-5 \times -5 = 25| aussi. En conséquence, dans |\mathbb{R},| il est impossible de calculer la racine carrée de |-25,| car il n’existe pas de nombre qui, multiplié par lui-même, donne |-25.|
Oui, il s’agit de l’ensemble des nombres complexes, noté |(\mathbb{C}).| Cet ensemble correspond aux nombres réels auxquels on a ajouté un nombre imaginaire, noté |i,| qui se définit de la façon suivante. ||i=\sqrt{-1}\ \Longleftrightarrow\ i^2=-1||Ainsi, avec l’ajout de ce nombre unique, qui ne fait pas partie des nombres réels, extraire la racine carrée d’un nombre négatif devient possible. Les nombres complexes, qui ne sont pas à l'étude dans le Programme de formation de l'école québécoise, sont largement utilisés en sciences et en ingénierie, car ils permettent de résoudre des équations qu’on ne pourrait pas résoudre autrement.
Selon la définition, la racine carrée d’un nombre est toujours positive. Toutefois, lorsqu’il faut résoudre des équations de degré 2, il est important de donner les 2 solutions et pas seulement la solution positive.
Autrement dit, même si la racine carrée de |81| est |9| (positif), l’équation |x^2=81| possède 2 solutions : |9| et |-9.|
Quelles sont les solutions de l’équation suivante? ||8x^2=450||
On divise par |8| pour isoler |x^2.| ||\begin{align} 8x^2&=450\\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{8x^2}}{\boldsymbol{8}}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{450}}{\boldsymbol{8}}}\\ x^2&=56{,}25\end{align}||On cherche maintenant un nombre |x| qui, élevé au carré, donne |56{,}25.| Il faut donc calculer la racine carrée de |56{,}25.| ||\sqrt{56{,}25}=7{,}5|||7{,}5| est une solution de l’équation. Cependant, il ne s’agit pas de la seule solution, puisque |-7{,}5| est aussi une solution valable. Voici la validation de ces 2 solutions. ||\begin{gather}8\boldsymbol{\color{#3a9a38}{x}}^2=450\\\swarrow\searrow\\\begin{aligned}8(\boldsymbol{\color{#3a9a38}{7{,}5}})^2&\overset{?}{=}450 &8(\boldsymbol{\color{#3a9a38}{-7{,}5}})^2&\overset{?}{=}450\\[3pt]8(56{,}25)&\overset{?}{=}450&8(56{,}25)&\overset{?}{=}450\\[3pt]450&=450&450&=450\end{aligned}\end{gather}||Réponse : Les solutions de l’équation sont |7{,}5| et |-7{,}5.|
Lorsqu’on résout une équation de degré 2, pour ne pas oublier la 2e solution, on utilise le symbole |\pm| au moment d’extraire une racine carrée. ||\begin{aligned} x^2&=56{,}25\\ x&=\color{#ec0000}{\boldsymbol\pm\sqrt{\color{black}{56{,}25}}}\\ &\swarrow\ \searrow\end{aligned}\\ \begin{alignat}{1}\!\!\!\!\!\! x_1 &=\color{#ec0000}{\boldsymbol +\sqrt{\color{black}{56{,}25}}} \qquad x_2&=\color{#ec0000}{\boldsymbol -\sqrt{\color{black}{56{,}25}}}\\ &=\color{#ec0000}{\boldsymbol +}\,7{,}5 &=\color{#ec0000}{\boldsymbol -}\,7{,}5 \end{alignat}||