Trouver la règle d’une fonction valeur absolue

1. Remplacer les paramètres |h| et |k| par les coordonnées du sommet dans la règle.

2. Calculer |a| en remplaçant |x| et |y| par les coordonnées d’un autre point.

3. Écrire la règle.

Détermine la règle de la fonction valeur absolue dont les coordonnées du sommet sont |(-3, -2)| et les coordonnées d'un point sont |(-4, -5).|

1. Remplacer les paramètres |\boldsymbol{h}| et |\boldsymbol{k}| par les coordonnées du sommet dans la règle||\begin{align}f(x)&=a\vert x-\color{#3b87cd}h \vert +\color{#3a9a38}k\\f(x) &=a\vert x-\color{#3b87cd}{-3} \vert +\color{#3a9a38}{-2} \\ f(x) &= a\vert x+3\vert -2 \end{align}||

2. Calculer |\boldsymbol{a}| en remplaçant |\boldsymbol{x}| et |\boldsymbol{y}| par les coordonnées d’un autre point
   ||\begin{align} \color{#ff55c3}{-5} &= a\vert \color{#ff55c3}{-4}+3\vert -2 \\ -5 &= a\vert -1\vert -2 \\ -5 &= a(1)-2\\ -5 &= a-2\\ -3&=a \end{align}||

3. Écrire la règle
   
   La règle de cette fonction est |f(x)=-3\vert x+3\vert -2.|

1. Placer les points dans un plan cartésien.

2. Calculer la valeur du paramètre |h| en faisant la moyenne des abscisses |(x)| des 2 points qui ont la même ordonnée |(y).|

3. Calculer la pente de la droite passant par les 2 points qui sont situés du même côté du sommet (sur la même branche).

4. Déterminer le signe du paramètre |a| en analysant l’ouverture de la fonction.

5. Remplacer dans la règle les paramètres |h| et |a| calculés précédemment.

6. Calculer |k| en remplaçant |x| et |y| par les coordonnées d’un point.

7. Écrire la règle.

Dans une fonction valeur absolue, les 2 branches sont symétriques. Ainsi, le paramètre |a| de la fonction valeur absolue, la pente de la branche de gauche |(a_1)| et la pente de la branche de droite |(a_2)| possèdent tous la même valeur si on ne tient pas compte de leur signe.

Détermine la règle de la fonction valeur absolue dont les zéros sont |-7| et |1| et qui passe par le point |(-9,-4).|

2. Calculer la valeur du paramètre |\boldsymbol{h}| en faisant la moyenne des abscisses des 2 points qui ont la même ordonnée

   Dans l’exemple, les points ayant la même ordonnée sont les zéros, situés à |x=-7| et |x=1.| Le |x| du sommet, qui correspond au paramètre |h,| se trouve exactement au milieu des zéros étant donné que le graphique d’une fonction valeur absolue est symétrique. ||\begin{align}h&=\dfrac{-7+1}{2}\\h&=-3\end{align}||

3. Calculer la pente de la droite passant par les 2 points qui sont situés du même côté du sommet

   Les points |(-9,-4)| et |(-7,0)| sont situés sur la même branche, à gauche du sommet. On calcule la pente de la droite |(a_1)| passant par ces points. ||\begin{align}a_1&=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ &=\dfrac{0--4}{-7--9} \\ &=2\end{align}||

4. Déterminer le signe du paramètre |\boldsymbol{a}| en analysant l’ouverture de la fonction

   Sachant que l’ouverture est vers le bas, on en conclut que |a| est négatif. ||a=-2||

5. Remplacer dans la règle les paramètres |\boldsymbol{h}| et |\boldsymbol{a}| calculés précédemment||\begin{align}f(x)&=\color{#ec0000}a\vert x-\color{#3b87cd}h \vert +k\\f(x) &=\color{#ec0000}{-2}\vert x-\color{#3b87cd}{-3} \vert +k\\ f(x) &=-2\vert x+3 \vert +k\end{align}||

6. Calculer |\boldsymbol{k}| en remplaçant |\boldsymbol{x}| et |\boldsymbol{y}| par les coordonnées d’un point

   On prends le point |(1,0).| ||\begin{align} \color{#ff55c3}{0} &= -2\vert \color{#ff55c3}{1}+3\vert +k \\ 0 &= -2\vert 4\vert +k \\ 0 &= -2(4) +k \\ 0&=-8+k \\ 8 &= k \end{align}||

Pour déterminer quels points sont situés sur la même branche lorsqu’on a 3 points quelconques dans le graphique, il y a quelques éléments à respecter.

1. Il ne faut jamais tenir pour acquis que l’un des 3 points est le sommet de la fonction, à moins que ce soit précisé.

2. Il faut toujours s’assurer que la symétrie entre les 2 branches est respectée.

Avec ce choix, on remarque que le sommet est plus bas que le point |B.| Autrement dit, le point |B| n’est situé sur aucune des 2 branches de la valeur absolue, mais plutôt sur le prolongement d’une branche, ce qui veut dire qu’on a fait le mauvais choix.

Dans tous les cas, on remarque que le point |B| n’est pas le sommet de la fonction.

1. Placer les points dans un plan cartésien.

2. Calculer la pente de la droite passant par les 2 points qui sont situés du même côté du sommet (sur la même branche).

3. Trouver la règle sous la forme |y=ax+b| des 2 branches.

4. Trouver les coordonnées du sommet situé à l’intersection des 2 branches à l’aide de la méthode de comparaison.

5. Déterminer le signe du paramètre |a| en analysant l’ouverture de la fonction.

6. Écrire la règle en remplaçant les paramètres |a,| |h| et |k| par leur valeur.

Détermine la règle de la fonction valeur absolue passant par les points |(1,2),| |(7,-6)| et |(-1,-2).|

2. Calculer la pente de la droite passant par les 2 points qui sont situés du même côté du sommet

   Les 2 points sur la même branche sont |(-1, -2)| et |(1,2).| ||\begin{align}a_1&=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\&=\dfrac{2--2}{1--1}\\&=2\end{align}||

3. Trouver la règle sous la forme |\boldsymbol{y=ax+b}| des 2 branches

   Pour la branche de gauche, on prend le |a| positif puisque la droite est croissante et on utilise le point |(-1,-2)| pour calculer |b_1.| ||\begin{align} y_1&=a_1x+b_1 \\ -2 &= 2 (-1) + b_1\\ -2 &= -2 + b_1 \\ 0 &=b_1 \end{align}||Donc, pour cette branche, la règle est |y_1=2x.|

   Pour la branche de droite, on prend le même |a,| mais négatif. De plus, on utilise le point |(7,-6)| pour calculer |b_2.| ||\begin{align} y_2&=a_2x+b_2 \\ -6 &= -2 (7) + b_2 \\ -6 &= -14 + b_2 \\ 8&=b_2 \end{align}||Donc, pour cette branche, l'équation est |y_2=-2x+8.|

4. Trouver les coordonnées du sommet situé à l’intersection des 2 branches à l’aide de la méthode de comparaison ||\begin{align} y_1&=y_2 \\ 2x &= -2x + 8 \\ 4x&=8\\x&=2 \end{align}||Donc, |h=2.|

   Pour |k,| on remplace |x| par |2| dans l'une ou l'autre des 2 règles. ||\begin{align} \begin{aligned}y_1 &= 2x \\ &= 2 (2) \\ &=4\end{aligned}\quad\ \ \begin{aligned}y_2 &= -2x+8 \\ &= -2 (2)+8 \\ &=4\end{aligned} \end{align}||Donc, |k=4.|

5. Déterminer le signe du paramètre |\boldsymbol{a}| en analysant l’ouverture de la fonction valeur absolue

   Sachant que l’ouverture est vers le bas, on en conclut que |a| est négatif.

   Donc, |a=-2.|