La réciproque de la fonction sinus (arcsin)

La réciproque de la fonction sinus de base est la fonction arc sinus qui s'intéresse à la mesure des angles (en radians) du cercle trigonométrique en fonction de l’ordonnée des points du cercle.

La règle de la fonction arc sinus de base est |f(x)=\arcsin (x).| On note aussi cette fonction |f(x)=\sin^{-1}(x).|

Remarque : Il ne faut pas confondre la notation |\sin^{-1}(x)| avec |\dfrac{1}{\sin (x)}.|

La réciproque d’une fonction sinus n’est pas une fonction. Pour qu’elle le devienne, on doit restreindre son image.

Dans le plan cartésien ci-dessous, on a tracé la fonction sinus de base. Pour tracer sa réciproque, on interchange les coordonnées |x| et |y| des points de la fonction. On peut aussi effectuer une réflexion des points par rapport à la droite d’équation |y=x.| Par exemple, le point |\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)| devient le point |\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right)\!.|

En procédant ainsi, on obtient une autre courbe, qui n’est pas une fonction. En limitant l’image de la réciproque à l’intervalle |\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\!,| on obtient la fonction arc sinus.
 

1. Interchanger |x| et |y| dans la règle.

2. Isoler la variable |y.|

3. Donner la règle de la réciproque.

Détermine la règle de la réciproque de la fonction |f(x)=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(x-\pi)\right)-5.|

1. Interchanger |x| et |y| dans la règle ||\begin{align}\color{#3B87CD}y&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#FF55C3}x-\pi)\right)-5\\ \color{#FF55C3}x&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)-5\end{align}||

2. Isoler la variable |y| ||\begin{align}x&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)-5\\x+5&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)\\ \dfrac{x+5}{-2}&=\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)\end{align}||

Pour isoler |y,| il faut éliminer |\sin| en effectuant l’opération inverse, |\sin^{-1}.|||\begin{align}\color{#EC0000}{\sin^{-1}\!\left(\color{black}{\dfrac{x+5}{-2}}\right)}&=\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\\3\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x+5}{-2}\right)&=\color{#3B87CD}y-\pi\\3\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x+5}{-2}\right)+\pi&=\color{#3B87CD}y\end{align}||Il est possible de simplifier l’écriture en travaillant dans les parenthèses. En effet, la division par |-2| peut aussi s’écrire comme une multiplication par |-\dfrac{1}{2}.|||\begin{align}3\sin^{-1}\!\left(\color{#EC0000}{\dfrac{x+5}{-2}}\right)+\pi&=y\\ 3\sin^{-1}\!\left(\color{#EC0000}{-\dfrac{1}{2}(x+5)}\right)+\pi&=y\end{align}||

3. Donner la règle de la réciproque

La règle de la réciproque de la fonction sinus est la suivante. ||f^{-1}(x)=3\sin^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{2}(x+5)\right)+\pi||

Remarque : Pour que la réciproque devienne une fonction, on doit limiter son image.