La réciproque de la fonction tangente (arctan)

La réciproque de la fonction tangente de base est la fonction arc tangente qui s'intéresse à la mesure des angles (en radians) du cercle trigonométrique en fonction du rapport entre l’ordonnée et l’abscisse des points du cercle.

La règle de la fonction arc tangente de base est |f(x)=\arctan (x).| On note aussi cette fonction |f(x)=\tan^{-1}(x).|

Remarque : Il ne faut pas confondre la notation |\tan^{-1}(x)| avec |\dfrac{1}{\tan (x)}.|

La réciproque d’une fonction tangente n’est pas une fonction. Pour qu’elle le devienne, on doit restreindre son image.

Dans le plan cartésien ci-dessous, on a tracé la fonction tangente de base. Pour tracer sa réciproque, on interchange les coordonnées |x| et |y| des points de la fonction. On peut aussi effectuer une réflexion des points par rapport à la droite d’équation |y=x.| Par exemple, le point |\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right)| devient le point |\left(\dfrac{\pi}{2},1\right).|

En procédant ainsi, on obtient une autre courbe qui n’est pas une fonction. En limitant l’image de la réciproque à l’intervalle |\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[,| on obtient la fonction arc tangente.

1. Interchanger |x| et |y| dans la règle.

2. Isoler la variable |y.|

3. Donner la règle de la réciproque.

Détermine la règle de la réciproque de la fonction |f(x)=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(x-3)\big)-1.|

1. Interchanger |x| et |y| dans la règle||\begin{align}\color{#3B87CD}y&=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(\color{#FF55C3}x-3)\big)-1\\ \color{#FF55C3}x&=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)-1\end{align}||

2. Isoler la variable |y|||\begin{align}x&=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)-1\\x+1&=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)\\\dfrac{x+1}{\frac{1}{2}}&=\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)\end{align}||La division par |\dfrac{1}{2}| peut aussi s’écrire comme une multiplication par |2,| ce qui simplifie l’équation.||2(x+1)=\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)||Pour isoler |y,| il faut éliminer |\tan| en effectuant l’opération inverse, |\tan^{-1}.|||\begin{align}\color{#EC0000}{\tan^{-1}\!\big(\color{black}{2(x+1)}\big)}&=\pi(\color{#3B87CD}y-3)\\\dfrac{1}{\pi}\tan^{-1}\!\big(2(x+1)\big)&=\color{#3B87CD}y-3\\\dfrac{1}{\pi}\tan^{-1}\!\big(2(x+1)\big)+3&=\color{#3B87CD}y\end{align}||

3. Donner la règle de la réciproque
   La règle de la réciproque de la fonction tangente est la suivante.||f^{-1}(x)=\dfrac{1}{\pi}\tan^{-1}\!\big(2(x+1)\big)+3||

Remarque : Pour que la réciproque devienne une fonction, on doit limiter son image.