Résoudre une équation ou une inéquation tangente

Une équation ou une inéquation tangente contient un rapport tangente, où l’inconnue |(x)| apparait dans l’argument.

La fonction réciproque |\arctan| est parfois notée |\tan^{-1},| notamment sur les calculatrices.

Il existe quelques valeurs remarquables du rapport tangente, qu’on peut utiliser lors de la résolution d’une équation ou d’une inéquation tangente.

On obtient ces valeurs en faisant le rapport de l’ordonnée et de l’abscisse des points remarquables du 1^er quadrant et du 4^e quadrant du cercle trigonométrique. Voici un exemple de calcul avec l’angle |-\dfrac{\pi}{6}.|||\begin{align}\tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)&=\dfrac{\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)}\\[3pt]&=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\[3pt]&=-\dfrac{1}{\color{#ec0000}{\cancel{\color{black}{2}}}}\times\dfrac{\color{#ec0000}{\cancel{\color{black}{2}}}}{\sqrt{3}}\\[3pt]&=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\boldsymbol{\color{#ec0000}{\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}}\\[3pt]&=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{align}||Remarque : Il n’y a pas de valeur remarquable pour les angles |\dfrac{\pi}{2}| et |-\dfrac{\pi}{2},| car on obtient une division par |0.| D’ailleurs, c’est pour cette raison que la fonction |\tan(x)| de base a des asymptotes à |x=\dfrac{\pi}{2}| et |x=-\dfrac{\pi}{2}.|

1. Isoler le rapport tangente.

2. Déterminer l’angle trigonométrique à l’aide du tableau des valeurs remarquables ou de la fonction réciproque |\boldsymbol{\arctan}.|

3. Résoudre l’équation obtenue avec l’angle trigonométrique.

4. Calculer la période de la fonction tangente.

5. Donner les solutions de l’équation.

Résous l’équation suivante dans l’intervalle |\left[-\dfrac{3\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}\right].|||5\tan\big(\!-4(x+1)\big)+2=6||

Résous l’équation suivante.||2\tan^2(x-2)-5\tan(x-2)+2=0||

1. Changer le symbole d’inégalité par un symbole d’égalité.

2. Isoler le rapport tangente.

3. Déterminer l’angle trigonométrique à l’aide du tableau des valeurs remarquables ou de la fonction réciproque |\boldsymbol{\arctan}.|

4. Résoudre l’équation obtenue avec l’angle trigonométrique.

5. Calculer la période de la fonction tangente.

6. Calculer les asymptotes de la fonction tangente.

7. Donner l’ensemble-solution de l’inéquation.

Résous l'inéquation suivante.||3\tan\left(\dfrac{x}{4}\right)>-\sqrt{3}||

Résous l'inéquation suivante.||\tan^2\left(\dfrac{2x}{3}\right)\ge\dfrac{16}{9}||