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Les solides de même aire
Fiche | Mathématiques
Secondaire
4-5
Des solides de même aire sont des solides qui ont une aire totale identique.
Des solides isométriques sont nécessairement des solides équivalents et de même aire totale.
Cependant, des solides équivalents ou de même aire ne sont pas nécessairement des solides isométriques. En effet, 2 solides de même aire peuvent être complètement différents.
On peut démontrer que la pyramide et le prisme à base carré suivants sont des solides de même aire en calculant leur aire totale respective.
||\begin{align}A_\text{base}&=\text{m}\overline{AB}\times\text{m}\overline{BC}\\&=10\times70\\&=700\ \text{dm}^2\\\\A_\text{latérale}&=2\left(\dfrac{\text{m}\overline{AB}\times\text{m}\overline{DE}}{2}+\dfrac{\text{m}\overline{BC}\times\text{m}\overline{DF}}{2}\right)\\&=\text{m}\overline{AB}\times\text{m}\overline{DE}+\text{m}\overline{BC}\times\text{m}\overline{DF}
\\&=10\times37+70\times13\\&=1\ 280\ \text{dm}^2\\\\A_\text{pyramide}&=A_\text{base}+A_\text{latérale}\\&=700+1\ 280\\&=1\ 980\ \text{dm}^2\end{align}||
||\begin{align}A_\text{prisme}&=2A_\text{base}+A_\text{latérale}\\&=2\left(\text{m}\overline{OP}\right)^2+4\times\text{m}\overline{OP}\times\text{m}\overline{OQ}\\&=2\times15^2+4\times15\times25{,}5\\&=1\ 980\ \text{dm}^2\end{align}||
Conclusion : La pyramide et le prisme ont chacun une aire totale de |1\ 980\ \text{dm}^2.|
La recherche de mesures manquantes dans des solides de même aire
Il est souvent nécessaire d'utiliser l'algèbre pour trouver des mesures manquantes dans des solides de même aire. Voici la démarche à suivre pour y arriver.
-
Déterminer l’équation formée par l’équivalence entre l’aire totale des solides.
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Résoudre l’équation.
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Répondre à la question.
Voici un 1er exemple dans lequel il n’y a qu’une seule inconnue.
Trouve le rayon de la sphère, sachant qu’elle est un solide de même aire que le cylindre.
Voir la solution
Voici un 2e exemple dans lequel il y a plusieurs inconnues.
Trouve l’apothème de la pyramide, sachant qu’elle est un solide de même aire que le cône.
Voir la solution
Les apparences sont parfois trompeuses! Dans l’exemple précédent, on peut penser que le cône et la pyramide n’ont pas la même aire totale, puisque le volume de la pyramide est définitivement plus grand que celui du cône. Toutefois, l’aire de ces 2 solides est bel et bien identique.
La comparaison du volume de solides de même aire
Il est possible de dégager certaines conjectures concernant le volume de solides de même aire. On examine plusieurs exemples pour vérifier que chacune de ces propositions est vraie.
Le plus grand volume parmi les prismes rectangulaires de même aire
Parmi tous les prismes à base rectangulaire de même aire, c'est le cube qui possède le plus grand volume.
Cette conjecture est l’inverse de celle qui concerne la plus petite aire parmi les prismes équivalents.
Soit les prismes droits à base rectangulaire et le cube suivants.
Ces 3 prismes ont tous une aire totale de |1\ 176\ \text{cm}^2.|
Aire totale du prisme bleu
||\begin{align}A_\text{base}&=\text{m}\overline{AB}\times\text{m}\overline{BC}\\&=6\times7\\&=42\ \text{cm}^2\\\\A_\text{latérale}&=\left(2\times\text{m}\overline{AB}+2\times \text{m}\overline{BC}\right)\times\text{m}\overline{CD}\\&=(2\times6+2\times7)\times42\\&=1\ 092\ \text{cm}^2\\\\A_\text{prisme bleu}&=2A_\text{base}+A_\text{latérale}\\&=2\times42+1\ 092\\&=1\ 176\ \text{cm}^2\end{align}||
Aire totale du prisme orange
||\begin{align}A_\text{base}&=\text{m}\overline{EF}\times\text{m}\overline{FG}\\&=20\times18\\&=360\ \text{cm}^2\\\\A_\text{latérale}&=\left(2\times\text{m}\overline{EF}+2\times\text{m}\overline{FG}\right)\times\text{m}\overline{GH}\\&=(2\times20+2\times18)\times6\\&=456\ \text{cm}^2\\\\A_\text{prisme orange}&=2A_\text{base}+A_\text{latérale}\\&=2\times360+456\\&=1\ 176\ \text{cm}^2\end{align}||
||\begin{align}A_\text{cube}&=6\left(\text{m}\overline{IJ}\right)^2\\&=6\times14^2\\&=1\ 176\ \text{cm}^2\end{align}||
Toutefois, chaque volume est différent.
Volume du prisme bleu
||\begin{align}V_\text{prisme bleu}&=\text{m}\overline{AB}\times\text{m}\overline{BC}\times\text{m}\overline{CD}\\&=6\times7\times42\\&=1\ 764\ \text{cm}^3\end{align}||
Volume du prisme orange
||\begin{align}V_\text{prisme orange}&=\text{m}\overline{EF}\times\text{m}\overline{FG}\times\text{m}\overline{GH}\\&=20\times18\times6\\&=2\ 160\ \text{cm}^3\end{align}||
||\begin{align}V_\text{cube}&=\left(\text{m}\overline{IJ}\right)^3\\&=14^3\\&=2\ 744\ \text{cm}^3\end{align}||
Ainsi, parmi ces 3 prismes à base rectangulaire de même aire, c'est le cube qui possède le plus grand volume.
Le plus grand volume parmi les solides de même aire
Parmi tous les solides de même aire, c'est la boule qui possède le plus grand volume.
Cette conjecture est l’inverse de celle qui concerne la plus petite aire parmi les solides équivalents.
Soit le cube, l’octaèdre régulier et la boule qui suivent.
Ces 3 solides ont tous une aire totale de |121\ \text{m}^2.| Toutefois, chaque volume est différent.
||\begin{align}V_\text{cube}&=\left(\text{m}\overline{AB}\right)^3\\&=4{,}49^3\\&\approx90{,}52\ \text{m}^3\end{align}||
Volume de l’octaèdre régulier
Un octaèdre régulier est un solide décomposable en 2 pyramides à base carrée. On calcule donc son volume de la façon suivante.||\begin{align}V_\text{octaèdre}&=2\times V_\text{pyramide}\\&=2\times\dfrac{\left(\text{m}\overline{CD}\right)^2\times\text{m}\overline{EF}}{3}\\&=2\times\dfrac{5{,}9^2\times4{,}19}{3}\\&\approx97{,}24\ \text{m}^3\end{align}||
||\begin{align}V_\text{boule}&=\dfrac{4\pi\left(\text{m}\overline{OP}\right)^3}{3}\\&=\dfrac{4\pi\times3{,}1^3}{3}\\&\approx124{,}79\ \text{m}^3\end{align}||
Ainsi, parmi ces 3 solides de même aire, c'est la boule qui possède le plus grand volume.