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Les figures équivalentes
Fiche | Mathématiques
Secondaire
4-5
Table des matières
- Haut de page
- La recherche de mesures manquantes dans des figures équivalentes
- La comparaison du périmètre de figures équivalentes
- Le plus petit périmètre parmi les figures équivalentes à |\boldsymbol{n}| côtés
- Le plus petit périmètre parmi les polygones réguliers équivalents
- Le plus petit périmètre parmi les figures équivalentes
- Le périmètre d’un polygone régulier à partir d’une aire donnée
- À voir aussi
Des figures équivalentes sont des figures qui ont la même aire.
Des figures isométriques sont nécessairement des figures équivalentes.
Cependant, des figures équivalentes ne sont pas nécessairement des figures isométriques. En effet, 2 figures équivalentes peuvent être complètement différentes.
On peut démontrer que le triangle |\color{#333fb1}{ABC}| et le carré |\color{#fa7921}{IJKL}| suivants sont équivalents en calculant leur aire respective.
||\begin{align}A_\text{triangle}&=\dfrac{\text{m}\overline{AC}\times\text{m}\overline{BH}}{2}\\&=\dfrac{16\times18}{2}\\&=144\ \text{cm}^2\end{align}||
||\begin{align}A_\text{carré}&=\left(\text{m}\overline{IL}\right)^2\\&=12^2\\&=144\ \text{cm}^2\end{align}||
Conclusion : Le triangle |\color{#333fb1}{ABC}| et le carré |\color{#fa7921}{IJKL}| sont équivalents, puisqu’ils ont chacun une aire de |144\ \text{cm}^2.|
La recherche de mesures manquantes dans des figures équivalentes
Il est souvent nécessaire d'utiliser l'algèbre pour trouver des mesures manquantes dans des figures équivalentes. Voici la démarche à suivre pour y arriver.
-
Déterminer l'équation formée par l'équivalence entre l’aire des figures.
-
Résoudre l’équation.
-
Répondre à la question.
Voici un 1er exemple dans lequel il n’y a qu’une seule inconnue.
Trouve la hauteur du rectangle |\color{#fa7921}{JKLM},| sachant qu’il est une figure équivalente au trapèze |\color{#333fb1}{ABCD}.|
Voir la solution
Voici un 2e exemple dans lequel il y a plusieurs inconnues.
Trouve la hauteur du pentagone |\color{#fa7921}{EFGHI},| sachant qu’il est une figure équivalente au losange |\color{#333fb1}{ABCD}.|
Voir la solution
La comparaison du périmètre de figures équivalentes
Il est possible de dégager certaines conjectures concernant le périmètre de figures planes équivalentes. On examine plusieurs exemples pour vérifier que chacune de ces propositions est vraie.
Le plus petit périmètre parmi les figures équivalentes à |\boldsymbol{n}| côtés
Parmi tous les polygones équivalents à |n| côtés, c'est le polygone régulier qui possède le plus petit périmètre.
Cette conjecture est similaire à celle qui concerne la plus petite aire parmi les prismes équivalents.
Soit le rectangle |\color{#333fb1}{ABCD},| le cerf-volant |\color{#fa7921}{IJKL}| et le carré |\color{#7cca51}{EFGH}| suivants.
Ces 3 quadrilatères sont équivalents, puisqu’ils ont tous une aire de |64\ \text{dm}^2.|
||\begin{align}A_\text{rectangle}&=\text{m}\overline{AB}\times\text{m}\overline{BC}\\&=16\times 4\\&=64\ \text{dm}^2\end{align}||
||\begin{align}A_\text{cerf-volant} &=\dfrac{\text{m}\overline{IK}\times\text{m}\overline{JL}}{2}\\A_\text{cerf-volant}&=\dfrac{(4+4)\times(10+6)}{2}\\A_\text{cerf-volant}&=64\ \text{dm}^2\end{align}||
||\begin{align}A_\text{carré} &=\left(\text{m}\overline{EF}\right)^2\\&=8^2\\&=64\ \text{dm}^2\end{align}||
Toutefois, chaque périmètre est différent.
||\begin{align}P_\text{rectangle}&=2\times\text{m}\overline{AB}+2\times\text{m}\overline{BC}\\&=2\times16+2\times4\\&=40\ \text{dm}\end{align}||
||\begin{align}P_\text{cerf-volant}&=2\times\text{m}\overline{IJ}+2\times\text{m}\overline{KL}\\&=2\times10{,}77+2\times7{,}21\\&=35{,}96\ \text{dm}\end{align}||
||\begin{align}P_\text{carré}&=4\times\text{m}\overline{EF}\\&=4\times8\\&=32\ \text{dm}\end{align}||
Ainsi, parmi ces 3 quadrilatères équivalents, c'est le carré qui possède le plus petit périmètre, puisque c’est un polygone régulier à 4 côtés.
Le plus petit périmètre parmi les polygones réguliers équivalents
Parmi tous les polygones réguliers équivalents, c'est le polygone régulier ayant le plus grand nombre de côtés qui possède le plus petit périmètre.
Soit le pentagone régulier, l’hexagone régulier et l’heptagone régulier suivants.
Périmètre du pentagone régulier
||\begin{align}P_\text{pentagone}&=n\times\text{m}\overline{AB}\\&=5\times3{,}05\\&=15{,}25\ \text{m}\end{align}||
Périmètre de l’hexagone régulier
||\begin{align}P_\text{hexagone}&=n\times\text{m}\overline{EF}\\&=6\times2{,}48\\&=14{,}88\ \text{m}\end{align}||
Périmètre de l’heptagone régulier
||\begin{align}P_\text{heptagone}&=n\times\text{m}\overline{EF}\\&=7\times2{,}10\\&=14{,}70\ \text{m}\end{align}||
Ainsi, parmi ces 3 polygones réguliers équivalents, c'est l’heptagone régulier qui possède le plus petit périmètre, puisque c’est celui qui a le plus grand nombre de côtés.
Le plus petit périmètre parmi les figures équivalentes
Parmi toutes les figures planes équivalentes, c'est le disque qui possède le plus petit périmètre.
Cette conjecture est similaire à celle qui concerne la plus petite aire parmi les solides équivalents.
Soit le parallélogramme |\color{#333fb1}{ABCD},| le triangle |\color{#fa7921}{EFG}| et le disque de rayon |\color{#7cca51}{OI}| suivants.
Ces 3 figures sont équivalentes, puisqu’elles ont toutes une aire de |78{,}54\ \text{cm}^2.| Toutefois, chaque périmètre est différent.
||\begin{align}P_\text{triangle}&=\text{m}\overline{EF}+\text{m}\overline{FG}+\text{m}\overline{GE}\\&=13{,}43+15{,}89+12\\&=41{,}32\ \text{cm}\end{align}||
||\begin{align}P_\text{parallélogramme}&=2\times\text{m}\overline{DA}+2\times\text{m}\overline{AB}\\&=2\times6+2\times14{,}40\\&=40{,}80\ \text{cm}\end{align}||
||\begin{align}C_\text{disque}&=2\pi\times\text{m}\overline{OI}\\&=2\pi\times5\\&\approx31{,}42\ \text{cm}\end{align}||
Ainsi, parmi ces 3 figures planes équivalentes, c'est le disque qui possède le plus petit périmètre.
Le périmètre d’un polygone régulier à partir d’une aire donnée
L’animation interactive suivante résume les 3 conjectures précédentes.
En déplaçant le curseur Nombre de côtés |(n),| on peut voir que plus le nombre de côtés augmente, plus le périmètre |(P)| diminue vers une certaine valeur. Cette valeur correspond à la circonférence du cercle équivalent à tous ces polygones réguliers.
On peut démontrer une relation algébrique qui donne le périmètre d’un polygone régulier en fonction de son aire.
|P=2\sqrt{A\times n\times\tan\dfrac{180^\circ}{n}}|
où
|P :| périmètre du polygone régulier
|A :| aire du polygone régulier
|n :| nombre de côtés du polygone régulier
À voir aussi
- La similitude, l'isométrie et l'équivalence
- Les figures isométriques et semblables
- Les solides isométriques et semblables
- Les rapports de similitude, d’aires et de volumes (k, k², k³)
- Les conditions minimales d'isométrie des triangles
- Les conditions minimales de similitude des triangles
- Le théorème de Thalès
- Les solides équivalents
- Les solides de même aire