Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique

Secondaire 5

  • Une équation ou une inéquation trigonométrique contient au moins un rapport trigonométrique où l’inconnue |(x)| apparait dans l’argument.

  • Une équation ou une inéquation trigonométrique de degré 2 contient au moins un rapport trigonométrique élevé au carré ou au moins un produit de 2 rapports trigonométriques.

Puisque les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques, ce type d’équations peut ne posséder aucune solution, ou posséder une solution, plusieurs solutions ou une infinité de solutions.

De plus, il est nécessaire d’utiliser les angles en radians.

Parfois, les équations trigonométriques à résoudre ne contiennent qu’un seul rapport trigonométrique. D’autres fois, elles contiennent plus d’un rapport. Les stratégies à employer pour résoudre ces dernières sont plus variées.

Résoudre une équation trigonométrique

Résoudre une équation trigonométrique

​​​​​Les stratégies de résolution des équations et des inéquations trigonométriques

Astuce

Voici quelques stratégies qu’on peut utiliser lorsqu’on résout une équation ou une inéquation composée de plus d’un rapport trigonométrique.

Remarque : Les 3 premières stratégies permettent de réécrire toute l’équation en sinus ou en cosinus seulement, ce qui rend l’équation plus facile à résoudre. Par ailleurs, la plupart du temps, il ne faut pas utiliser toutes ces stratégies et il ne faut pas nécessairement les utiliser dans cet ordre précis.

Voici un rappel des définitions et des identités trigonométriques qui sont souvent utilisées pour résoudre des équations trigonométriques.

Les définitions

||\begin{align}\tan(x)&=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\\[3pt]\text{cosec}(x)&=\dfrac{1}{\sin(x)}\\[3pt]\sec(x)&=\dfrac{1}{\cos(x)}\\[3pt]\text{cotan}(x)&=\dfrac{1}{\tan(x)}=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\end{align}||

Les identités de base

||\begin{align}\cos(-x)&=\cos(x)\\[3pt] \sin(-x)&=-\sin(x) \end{align}||

Les identités pythagoriciennes

||\begin{alignat}{13}&\cos^2(x)&&+\sin^2(x)&&=1\\[3pt]&\quad\,1&&+\tan^2(x)&&=\sec^2(x)\\[3pt] &\text{cotan}^2(x)&&+\quad1&&=\text{cosec}^2(x)\end{alignat}||

||\begin{align}\sin(A+B)&=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\\[2pt] \sin(A-B)&=\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)\\[2pt] \sin(2A)&=2\sin(A) \cos(A) \end{align}||

||\begin{align}\cos(A+B)&=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)\\[2pt] \cos(A-B)&=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)\\[2pt] \cos(2A)&=\cos^2(A)-\sin^2 (A)\end{align}||

||\begin{align}\tan(A+B)&=\dfrac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)}\\[5pt]\tan(A-B)&=\dfrac{\tan(A)-\tan(B)}{1+\tan(A)\tan(B)} \\[5pt] \tan(2A) &=\dfrac{2 \tan(A)}{1-\tan^2(A)} \end{align}||

Important!

Lorsqu’on utilise les fonctions réciproques |\arcsin,| |\arccos| ou |\arctan| sur la calculatrice, on obtient une seule valeur d’angle |(\theta).|

|\boldsymbol\arcsin|

On trouve l’autre angle qui a le même sinus que |\theta| en faisant |\pi - \theta.|

|\boldsymbol\arccos|

On trouve l’autre angle qui a le même cosinus que |\theta| en faisant |- \theta.|

|\boldsymbol\arctan|

Pour la fonction |\arctan,| on n’a pas besoin de trouver l’autre angle, puisque la période d’une fonction tangente est de |\pi| et non de |2\pi.|

Résoudre une équation trigonométrique

Résoudre des équations trigonométriques à l’aide des définitions des rapports trigonométriques

Sachant que |\cos(x) = \dfrac{2}{3}| et que |x| est un angle compris entre |0| et |\dfrac{\pi}{2},| quelle est la valeur des expressions suivantes?

a) |\sec(x)|

b) |\sin(x)|

c) |\text{cotan}(x)|

d) |\tan(-x)|

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Résoudre une équation trigonométrique en utilisant les identités trigonométriques pythagoriciennes

Résous l'équation suivante.||\tan^2(x)-3\sec(x)\tan(x)-\sec^2(x)=-1||

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​​​​​Résoudre une équation trigonométrique en utilisant les identités trigonométriques d’une somme ou d’une différence

Résous l'équation suivante.||2\sin^2(x)+\cos(2x)+1=0||

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On utilise aussi les identités trigonométriques d’une somme ou d’une différence pour calculer la valeur exacte d’un rapport trigonométrique.

Résoudre une équation trigonométrique à l’aide de la factorisation

Résous l'équation suivante.||\sin(x)\cos(x)=2\cos(x)||

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​​​​​Résoudre une équation trigonométrique en utilisant |\boldsymbol\arcsin,| |\boldsymbol\arccos| ou |\boldsymbol\arctan|

Résous l'équation suivante.||15\sin(x)\cos(x)-2=5\sin(x)-6\cos(x)||

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Résoudre une équation trigonométrique en utilisant toutes les stratégies

Résous l'équation suivante.||3\tan(x)+\text{cotan}(x)=5\,\text{cosec}(x)||

Résoudre une équation trigonométrique - Exemple

Résoudre une équation trigonométrique - Exemple

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Exercice - Résoudre une équation trigonométrique

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Résoudre une inéquation trigonométrique

Important!

Pour résoudre une inéquation trigonométrique, on utilise les mêmes stratégies que pour résoudre une équation trigonométrique. Puis, lorsqu’on a les solutions de l’équation, on trouve l’ensemble-solution de l’inéquation en testant des valeurs situées de part et d’autre des solutions trouvées.

De plus, il faut toujours porter une attention particulière aux bornes des intervalles de notre ensemble-solution.

  • Si le signe d’inéquation est |<| ou |>,| les bornes sont exclues.

  • Si le signe d’inéquation est |\leq| ou |\geq,| les bornes sont incluses.

  • Lorsqu’une borne correspond à une asymptote (pour la fonction tangente), elle est toujours exclue.

​​​​​Résoudre une inéquation trigonométrique de degré 1

Résous l'inéquation suivante.||2\tan(x)+4\sec(x)\le 3\sin(x)+6||

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​​​​​Résoudre une inéquation trigonométrique de degré 2

Résous l'inéquation suivante.||2\cos^2(x)<1-\sin(x)||

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Exercice - Résoudre une inéquation trigonométrique

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