Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique

• Une équation ou une inéquation trigonométrique contient au moins un rapport trigonométrique où l’inconnue |(x)| apparait dans l’argument.

• Une équation ou une inéquation trigonométrique de degré 2 contient au moins un rapport trigonométrique élevé au carré ou au moins un produit de 2 rapports trigonométriques.

Voici quelques stratégies qu’on peut utiliser lorsqu’on résout une équation ou une inéquation composée de plus d’un rapport trigonométrique.

• Utiliser les définitions des rapports trigonométriques.

• Utiliser les identités trigonométriques.

• Réécrire les fractions à l’aide d’un dénominateur commun.

• Poser les restrictions.

• Faire un changement de variable.

• Utiliser la factorisation ou la formule quadratique.

• Utiliser le cercle trigonométrique ou les fonctions réciproques |\arcsin,| |\arccos| et |\arctan| pour déterminer les solutions.

• Calculer la période afin de donner toutes les solutions. 

Remarque : Les 3 premières stratégies permettent de réécrire toute l’équation en sinus ou en cosinus seulement, ce qui rend l’équation plus facile à résoudre. Par ailleurs, la plupart du temps, il ne faut pas utiliser toutes ces stratégies et il ne faut pas nécessairement les utiliser dans cet ordre précis.

Lorsqu’on utilise les fonctions réciproques |\arcsin,| |\arccos| ou |\arctan| sur la calculatrice, on obtient une seule valeur d’angle |(\theta).|

Sachant que |\cos(x) = \dfrac{2}{3}| et que |x| est un angle compris entre |0| et |\dfrac{\pi}{2},| quelle est la valeur des expressions suivantes?

a) |\sec(x)|

b) |\sin(x)|

c) |\text{cotan}(x)|

d) |\tan(-x)|

Résous l'équation suivante.||\tan^2(x)-3\sec(x)\tan(x)-\sec^2(x)=-1||

Résous l'équation suivante.||2\sin^2(x)+\cos(2x)+1=0||

Résous l'équation suivante.||\sin(x)\cos(x)=2\cos(x)||

Résous l'équation suivante.||15\sin(x)\cos(x)-2=5\sin(x)-6\cos(x)||

Pour résoudre une inéquation trigonométrique, on utilise les mêmes stratégies que pour résoudre une équation trigonométrique. Puis, lorsqu’on a les solutions de l’équation, on trouve l’ensemble-solution de l’inéquation en testant des valeurs situées de part et d’autre des solutions trouvées.

De plus, il faut toujours porter une attention particulière aux bornes des intervalles de notre ensemble-solution.

• Si le signe d’inéquation est |<| ou |>,| les bornes sont exclues.

• Si le signe d’inéquation est |\leq| ou |\geq,| les bornes sont incluses.

• Lorsqu’une borne correspond à une asymptote (pour la fonction tangente), elle est toujours exclue.

Résous l'inéquation suivante.||2\tan(x)+4\sec(x)\le 3\sin(x)+6||

Résous l'inéquation suivante.||2\cos^2(x)<1-\sin(x)||