Aide-mémoire | Mathématiques — Secondaire 1 et 2

Voici un guide de préparation aux examens de fin d'année contenant toutes les notions abordées au premier cycle du secondaire. Pour expliquer le tout, chaque notion sera suivie d'un exemple et d'un lien qui mène à une fiche de notre bibliothèque virtuelle.

Secondaire 1-2

​​Arithmétique

Comparer et ordonner des nombres​​​

​Pour être en mesure de comparer des nombres, il est préférable d'utiliser un seul type d'écriture. Puisque l'ensemble des |\mathbb{Q}| est celui qui contient le plus d'éléments dont on peut facilement illustrer la valeur, l'écriture en notation fractionnaire |\left( \dfrac{a}{b} \right)| avec |b \neq 0| sera utilisée.

Place les nombres suivants en ordre croissant :

|​​4\dfrac{1}{3}\ ,| |\color{blue}{\dfrac{8}{3}}\ ,| |\color{red}{ -0{,}625}\ ,| |\color{green}{-80\ \%}\ ,| |\color{fuchsia}{\left( \dfrac{-1}{2} \right) ^2}\ ,| |\color{orange}{\sqrt9}|

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Résoudre une chaine d'opérations​​​

Dans un problème écrit, il est important de bien comprendre la mise en situation afin d'orienter sa démarche de la bonne façon. Ainsi, il est utile de suivre ces étapes :

  1. Créer la chaine d'opérations en ciblant les mots clés

  2. Résoudre en suivant la priorité des opérations

Afin de s'assurer qu'il s'est bien préparé pour son évaluation de vendredi, Sylvain veut savoir pendant combien de minutes il a étudié. Lundi, il a étudié la moitié du temps par rapport à mardi. Mardi, il avait le nez dans ses livres de 18 h 30 à 19 h 20. Mercredi, il a passé 20 minutes de moins que la somme des deux jours précédents à lire ses notes. Pour sa dernière journée de préparation, il a passé le triple du temps de lundi à réviser ses travaux. 

Au total, combien de minutes Sylvain a-t-il passé à étudier pour son évaluation?

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Les critères de divisibilité

Un nombre est divisible par... si...
2 le chiffre des unités est pair.
3 la somme de tous les chiffres du nombre est divisible par 3.
4 le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
5 le chiffre des unités est 0 ou 5.
6 le nombre est divisible à la fois par 2 et par 3.
8 le nombre formé par ses 3 derniers chiffres est divisible par 8 ou lorsque le nombre est divisible par 4 et par 2.
9 la somme de ses chiffres est divisible par 9.
10 le chiffre des unités est 0.
12 le nombre est divisible à la fois par 3 et par 4.
25 le nombre se termine par 00, 25, 50 ou 75.

À la suite de la tournée du quartier lors de la soirée d'Halloween, Judith et son fils Justin ont amassé une impressionnante quantité de bonbons. Après une semaine et quelques maux de ventre, ils en ont tellement mangé qu'ils souhaitent faire don de ce qu'il reste. Avec la fête de Justin qui s'en vient, Judith a la bonne idée de distribuer également le reste des |264| bonbons à chacun des amis de Justin qui seront présents pour l'occasion.

Si Judith permet à Justin d'inviter |9| amis, est-ce qu'elle pourra mettre son plan à exécution? Sinon, suggère un nombre raisonnable d'invités qui lui permettrait de se débarrasser de ses bonbons de façon égale, et ce, à tout le monde.

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Le pourcentage d'un nombre

La notion de pourcentage est un exemple de situation qui est toujours proportionnelle. Par contre, il faut être en mesure de bien construire la proportion afin de trouver les quantités voulues :

  1. ​Identifier la quantité donnée et lui associer son pourcentage.

  2. Identifier la quantité que l'on cherche et lui associer son pourcentage.

  3. Construire adéquatement la proportion selon le modèle suivant : ||\displaystyle \frac{\color{red}{\text{Quantité donnée}}}{\color{blue}{\text{Quantité que l'on cherche}}} = \frac{\color{red}{\text{Son pourcentage}}}{\color{blue}{\text{Son pourcentage}}}||

  4. Résoudre la situation de proportionnalité.

Afin de profiter de la vente de fin de saison dans un magasin de sport, Mme Caron s'est procuré quelques accessoires de vélo. En appliquant un rabais de |\color{red}{45\ \%},| elle a pu obtenir ce qu'elle cherchait pour seulement |\color{red}{14{,}85\ $}| (taxes incluses)!

Quel était le prix avant réduction (taxes incluses) de ses achats?

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Traduire une situation avec un rapport​

On exprime un rapport à l'aide de deux points superposés ou à l'aide d'une fraction.

|a : b| est le rapport partie par partie

|\displaystyle \frac{a}{a+b}| est le rapport partie-tout

où |a| et |b| sont des parties de même nature d'un tout et généralement premiers entre eux (rapport simplifié)

Par définition, les parties |a| et |b| d'un rapport |a:b| sont de même nature. Ainsi, on évite d'inscrire les unités associées à chacune des parties.

Lors d'une compétition sportive professionnelle, la bourse de |5\ 000\ $| a été séparée entre l'équipe championne et l'équipe finaliste. Lors de la remise des chèques, l'équipe victorieuse s'est méritée un montant de |\color{red}{3\ 500\ \$}| alors que le reste a été empoché par l'équipe terminant en deuxième position.

Ainsi, quel est le rapport associé au partage de la bourse avec l'équipe championne par rapport à l'équipe finaliste?

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Traduire une situation avec un taux

Généralement noté​ |a / b|, le taux met en relation deux quantités de nature différente.

​On fera référence au taux unitaire si |b=1.|

Voici la description des distances parcourues par un camionneur au cours de sa dernière semaine de travail :

|\color{red}{\text{Lundi} : 476\ \text{km en} \ 6{,}5 \ \text{h}}|
|\color{blue}{\text{Mardi} : 576\ \text{km en} \ 7{,}25 \ \text{h}}|
|\color{green}{\text{Mercredi} : 525\ \text{km en} \ 6{,}75 \ \text{h}}|
|\color{fuchsia}{\text{Jeudi} : 712\ \text{km en} \ 9 \ \text{h}}|
|\color{orange}{\text{Vendredi} : 632\ \text{km en} \ 7{,}75 \ \text{h}}|

À la lumière de ces informations, durant quelle journée le camionneur a-t-il maintenu la vitesse moyenne la plus élevée?

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Résoudre une situation de proportionnalité

​Pour qu'une situation soit proportionnelle, le graphique qui lui est associé doit :

  • passer par l'origine |(0,0),|

  • être représenté par une ligne droite.

Une fois qu'on s'est assuré que la situation répond à ces critères, on peut utiliser le produit croisé ou le coefficient multiplicatif pour résoudre le problème.

Afin de s'assurer de la justesse de sa soumission, une compagnie d'installation d'équipements de chauffage se base sur le graphique suivant afin d'estimer ses dépenses :

Ce graphique montre une situation de proportionnalité (fonction affine).

Ainsi, à combien devrait se chiffrer une soumission pour laquelle le temps de travail estimé est de |\color{red}{125 \ \text{heures}}|?​

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Résoudre une situation de proportionnalité inverse​​

Pour qu'une situation soit inversement proportionnelle, il faut que le graphique qui lui est associé soit :

  • une ligne courbe décroissante,

  • une ligne qui ne touche pas l'axe des abscisses et des ordonnées.

Une fois qu'on s'est assuré que la situation répond à ces critères, on peut la résoudre selon |x y = k| où |k| est une constante.

Lors de la remise des lots des tirages hebdomadaires d'une loterie nationale, on sépare également le gros lot selon le nombre de gagnants. Voici une illustration de la dernière répartition :

Ce graphique présente une situation inversement proportionnelle (variation inverse).

Selon ce contexte, détermine le montant gagné par chaque participant si on sait qu'il y a eu 5 gagnants?

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Algèbre

Les composantes de l'algèbre

​Afin de bien saisir le rôle de chacune des composantes en algèbre, on leur a attribué des noms précis :

  • Inconnue : Valeur numérique recherchée.

  • Variable : Lettre utilisée pour identifier l'inconnue.

  • Coefficient : Facteur multiplicatif placé devant l'inconnue.

  • Termes : Parties d'une expression ou d'une équation qui sont séparées par des additions ou des soustractions.

  • Terme constant (constante) : Terme composé uniquement d'un nombre ou dans lequel ne figure aucune variable.

  • Termes semblables : Termes composés des mêmes variables et dont ces variables sont affectées des mêmes exposants.

  • Expression algébrique : Combinaison de plusieurs termes dont on ne connait pas le total (aucun signe =).

  • Degré : Dans un monôme, il correspond à la somme des exposants des variables. Dans un polynôme, il correspond au degré le plus élevé parmi les monômes qui le composent.

  • Équation algébrique : Combinaison de plusieurs termes dont on connait le résultat (avec un signe =).

En te référant à l'expression algébrique suivante : ||\color{blue}{-4x^3y} \color{red}{+3x^2} \color{fuchsia}{-\frac{3}{4} xy^4 } \color{green}{+ 9}  \color{orange}{- 4xy^4}||identifie :

A) Un terme constant.
B) S'il s'agit d'une expression ou d'une équation.
C) Son degré.
D) Des termes semblables, s'il y a lieu.
E) Le coefficient du 2e terme.

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Simplifier et évaluer une expression algébrique

Pour simplifier une expression algébrique, il suffit d'appliquer la priorité des opérations en gardant ceci en mémoire :

  • Multiplication et division : elles sont appliquées sur les coefficients, peu importe les termes.

  • Addition et soustraction : elles sont appliquées sur les coefficients des termes semblables.

  • Évaluer une expression algébrique : substituer les variables par les valeurs données.

Afin de gagner en efficience, une compagnie a modélisé ses revenus mensuels à l'aide de l'expression algébrique suivante : ||\displaystyle 2(4x^2-6) - \frac{1}{2}x^2 + (12x - 1) \div 4||

​où |x = | nombre d'heures travaillées par tous les employés

Ainsi, quels seraient les revenus amassés pour un total de |325| heures travaillées en un mois?

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Construire et résoudre des équations

Généralement, on peut résoudre une situation à l'aide de l'algèbre en suivant ces étapes :

  1. Identifier les variables et les inconnues.

  2. Créer l'équation selon la mise en situation.

  3. Simplifier l'équation obtenue.

  4. Résoudre l'équation en isolant la variable.

  5. Valider sa réponse à l'aide de l'équation de départ.

Pour l'activité d'échange de cadeaux de ta classe, tu dois acheter un peu de nourriture pour le festin de groupe, des assiettes en carton et un cadeau pour l'échange qui aura lieu après le repas.

En analysant le tout, tu t'aperçois que la nourriture t'a couté |12\ $| de plus que le triple du montant pour les assiettes et tu as dû débourser la moitié de la somme des assiettes et de la nourriture pour ton cadeau.

En sachant que tu as dépensé exactement |36\ $| au total, détermine le montant de chacun des trois achats.​

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Géométrie

Le système international d'unités​

Unités de longueur
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Unités d'aire
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​Quelle est la mesure, en |\text{m}^2,| d'un triangle dont la ​base mesure |\color{blue}{ 820 \ \text{cm}}| et la hauteur est de | \color{red}{1{,}2 \ \text{dam}}|?​

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Les types de segments

Dans le but de définir les différentes figures planes et de trouver des mesures manquantes, on fait souvent référence à des types de segments particuliers :

  • |\color{blue}{\text{Diagonale}\ (\overline{BD})}| : segment qui relie deux sommets qui ne sont pas adjacents.

  • |\color{red}{\text{Médiane} \ (\overline{DF})}| : segment qui relie un sommet avec le milieu de son côté opposé.

  • |\color{green}{\text{Médiatrice}\ (\overline{FH})}| : segment qui est perpendiculaire à un autre segment et qui divise ce dernier en deux parties égales.

  • |\color{fuchsia}{\text{Bissectrice}\ (\overline{DE})}| : segment qui divise un angle en deux parties égales.

  • |\color{orange}{\text{Hauteur}\ (\overline{DG})}| : segment issue du sommet d'une figure ou d'un solide qui est perpendiculaire à sa base.

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​En te basant sur le dessin plus bas, associe chaque type de segment à un élément de l'illustration.

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A) Identifie une médiane.
B) Identifie une médiatrice.
C) Identifie une hauteur.
D) Identifie une bissectrice.​

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Les polygones réguliers​​

Les polygones réguliers possèdent toutes les mêmes propriétés :

  • Tous les côtés ont la même mesure.

  • Tous les angles ont la même mesure.

  • La somme des angles intérieurs peut se calculer à l'aide de la formule : |(n-2) \times 180°| où |n| est le nombre de côtés.

  • Ils sont formés d'un ensemble de triangles isocèles, sauf l'hexagone, formé de triangles équilatéraux.

  • Ils possèdent tous un nom différent en fonction de leur nombre de côtés.

  • L'apothème correspond au segment reliant le centre du polygone avec le milieu d'un côté.

  • L'apothème est perpendiculaire au côté qu'il touche.

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Vrai ou faux : un octogone régulier dont la mesure d'un côté est de |\color{red}{8 \ \text{cm}}| a un plus grand périmètre qu'un décagone régulier dont un côté mesure |\color{blue}{7 \ \text{cm}}.|

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Les relations dans le cercle

Pour bien distinguer les propriétés des différents segments de droite dans un cercle, on utilise les termes suivants :

  • |\color{orange}{\text{Corde} \ (\overline{CF})}| : segment qui relie deux points quelconques du cercle.

  • |\color{red}{\text{Diamètre}\ (\overline{DE})}| : segment qui relie deux points quelconques du cercle en passant par le centre.

  • |\color{green}{\text{Rayon} \ (\overline{AO})}| : généralement noté |r|, c'est un segment qui relie le centre du cercle à un point quelconque de celui-ci.

  • Circonférence du cercle  |=| contour du cercle |= 2 \pi r.|

  • |\color{fuchsia}{\text{Arc de cercle} \ \overset{\huge\frown}{\small {AB}}}| : portion du cercle qui est interceptée par deux rayons. ||\displaystyle \frac{\color{fuchsia}{m \overset{\huge\frown}{\small {AB}}}}{\color{fuchsia}{m \ \angle AOB}} = \displaystyle \frac{\text{Circonférence}}{360^\circ}||

  • Aire du disque |=| surface recouverte par le disque |= \pi r^2.|

  • Aire d'un secteur : portion du disque qui est délimitée par deux rayons. ||\displaystyle \frac{\text{aire du secteur} AOB}{\text{aire du disque}}= \displaystyle \frac{\color{fuchsia}{m \ \angle AOB}}{360^\circ}||

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Pour capturer le bétail, les cowboys utilisent un lasso qui est composé de deux parties : la corde et la boucle. Lorsque la boucle est défaite, un cowboy de profession enroule le lasso autour de lui-même huit fois avant de le déposer sur un crochet. Par ailleurs, la longueur nécessaire pour faire une boucle correspond à un arc de cercle intercepté par un angle au centre de |\color{red}{325^\circ}.|

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Ainsi, quelle est la longueur de la corde​​, soit la partie du lasso sans la boucle?​

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L'aire d'une figure décomposable

Puisqu'il est question d'une figure décomposable, il faudra travailler avec l'aire de chacune de ses faces. Ainsi, les formules d'aire des figures planes seront à privilégier.

​|A_\text{carré} = c^2|

​|A_\text{rectangle} = b\times h|

|A_\text{losange} = \displaystyle \frac{D \times d}{2}|

|A_\text{parallélogramme}=b \times h|

​|A_\text{trapèze} = \displaystyle \frac{(B+b)\times h}{2}|

|A_\text{triangle} = \displaystyle \frac{b \times h}{2}|

|A_\text{disque}=\pi r^2|

​​ |A_\text{polygone régulier}= \displaystyle \frac{c a n}{2}|

Avec la saison hivernale qui s'en vient, un entrepreneur en machinerie lourde fait ses soumissions afin d'obtenir des contrats de déneigement. Afin d'être compétitif, il demande |3{,}50\ $ / \text{m}^2.|

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En tenant compte des dimensions fournies plus haut, quel sera le montant de la soumission de ce contrat de déneigement?

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L'aire des solides décomposables

Puisqu'il est question d'un solide décomposable, il sera préférable de travailler avec l'aire de chacune de ses faces plutôt que de travailler avec l'aire totale de chacun des solides qui le composent. En d'autres mots, les formules d'aire des figures planes seront à privilégier.

​|A_\text{carré} = c^2|

​|A_\text{rectangle} = b\times h|

|A_\text{losange} = \displaystyle \frac{D \times d}{2}|

|A_\text{parallélogramme}=b \times h|

​|A_\text{trapèze} = \displaystyle \frac{(B+b)\times h}{2}|

|A_\text{triangle} = \displaystyle \frac{b \times h}{2}|

|A_\text{disque}=\pi r^2|

​​ |A_\text{polygone régulier}= \displaystyle \frac{c a n}{2}|

Avec le temps des Fêtes qui s'en vient, tu décides de jouer un tour à tes parents en emballant complètement leur cadeau avec du ruban adhésif gris. Concrètement, il s'agit d'un prisme à base carrée surmonté d'un cylindre.

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En considérant les mesures fournies dans le dessin plus haut, quelle quantité de ruban adhésif, en |\text{dm}^2,| devras-tu utiliser?

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Trouver une mesure manquante selon l'aire​

Les étapes à suivre pour trouver une mesure manquante sont les suivantes :

  1. Identifier les mesures données.

  2. Déterminer la formule à utiliser.

  3. Remplacer les variables connues.

  4. Isoler la variable recherchée.

​Une fois arrivé dans un magasin d'antiquités, un collectionneur aperçoit ce coffre. S'il l'achète, il aura besoin de connaitre la hauteur totale de ce dernier puisqu'il doit être semblable à ceux qu'il possède déjà. Pour des fins de restauration, l'aire totale est connue.

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Quelle est la hauteur de ce coffre?

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Les mesures d'angles​​

Voici le nom des angles en fonction de leur mesure :

  • Un angle nul : angle qui mesure |0^\circ.|

  • Un angle aigu : angle dont la mesure est comprise entre |0^\circ| et |90^\circ.|

  • Un angle droit : souvent représenté à l'aide d'un carré noir, il s'agit d'un angle dont la mesure est exactement de |90^\circ.|

  • Un angle obtus : angle dont la mesure est comprise entre |90^\circ| et |180^\circ.|

  • Un angle plat : angle dont la mesure est exactement de |180^\circ.|

  • Un angle rentrant : angle dont la mesure est comprise entre |180^\circ| et |360^\circ.|

  • Un angle plein : angle qui mesure |360^\circ.|

Voici quelques définitions qui concernent des paires d'angles :

  • Les angles adjacents : une paire d'angles qui ont un sommet et un côté commun et qui sont situés de chaque côté de l'angle commun.

  • Les angles complémentaires : deux angles dont la somme de leurs mesures est de |90^\circ.|

  • Les angles supplémentaires : deux angles dont la somme de leurs mesures est de |180^\circ.|

Par ailleurs, lorsque deux droites sont coupées par une sécante, cela forme des paires d'angles remarquables. Si les droites sont parallèles, alors on retrouvera plusieurs angles congrus.

Soit |d_1 // d_2| et |d_3,| une sécante :

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Les angles suivants sont congrus :

  • Les angles alternes-internes |(\color{redorange}{m\angle BEG} = \color{fuchsia}{m\angle CBE})| : angles qui sont de part et d'autres de la sécante, qui ne partagent pas le même sommet et qui sont à l'intérieur des droites parallèles.

  • Les angles alternes-externes |(\color{green}{m\angle ABF} = \color{orange}{m\angle DEH})| : angles qui sont de part et d'autres de la sécante, qui ne partagent pas le même sommet et qui sont à l'extérieur des droites parallèles.

  • Les angles correspondants |(\color{red}{m\angle ABC} = m\angle BED)| : angles qui sont du même côté de la sécante et qui ne partagent pas le même sommet. Par ailleurs, il y en a un qui est à l'intérieur des droites parallèles et l'autre, à l'extérieur.

  • Les angles opposés par le sommet |(\color{blue}{m\angle FBE} = \color{red}{m\angle ABC})| : angles qui partagent le même sommet et dont les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre.

Finalement, pour déduire des mesures d'angles, il est parfois utile d'utiliser le fait que la somme des angles intérieurs d'un triangle est de |180^\circ.| Pour les autres polygones, on peut appliquer la formule suivante :

  • La somme des angle intérieurs d'un polygone |=(n-2)\times 180^\circ| où |n| est le nombre de côtés du polygone. 

Quelle est |\color{red}{m\angle CBL}| dans le dessin suivant?

m1519i29.PNG

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La translation​

Notée |t_{(x,y)}|, la translation est une isométrie puisque les mesures des angles et des côtés homologues sont identiques. 

La translation est généralement définie par une flèche de translation.

À l'aide de tes instruments de géométrie, effectue la translation suivante :

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La rotation​

Notée |r_{(O,\text{degré})}|, la rotation est une isométrie puisque les mesures des angles et des côtés homologues sont identiques. 

La rotation est définie par un angle de rotation.

À l'aide de tes instruments de géométrie, effectue la rotation demandée.

m1519i05.PNG

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La réflexion​

Notée |s_{\text{axe}}|, la réflexion (symétrie) est une isométrie puisque les mesures des angles et des côtés homologues sont identiques. 

La réflexion est définie par un axe de symétrie.

À l'aide de tes instruments de géométrie, effectue la symétrie suivante :

m1519i04.PNG

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L'homothétie​

Notée |h_{(O,k)}|, l'homothétie établit une similitude entre deux figures puisque les angles homologues sont congrus et les côtés homologues sont proportionnels.

À l'aide de tes instruments de géométrie, effectue l'homothétie |h_{(O; 1,5)}|.

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Géométrie analytique​

Le plan cartésien

​Peu importe le plan cartésien avec lequel on travaille, il possède toujours les mêmes caractéristiques :

  • Les quadrants : ils représentent chacune des quatre divisions du plan cartésien.

  • L'axe des abscisses : axe horizontal qui est associé à la variable indépendante |(x).|

  • L'axe des ordonnées : axe vertical qui est associé à la variable dépendante |(y).|

  • L'origine : point de rencontre des deux axes dont la coordonnée est |(0,0).|

  • Les coordonnées |(x,y)| : tout point dans le plan cartésien possède une coordonnée donnée en fonction de sa valeur sur l'axe des |x| et des |y.|

  • Les axes : chacun des axes est représenté par une droite graduée.

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Dans un plan cartésien, place chacun des points suivants : ​||A(2,3),\ B(-3,2),\ C(-2,-3),\ D(4,-2)||

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Probabilités

Les types d'événements

Pour bien comprendre les probabilités, il est important de bien différencier les différents événements :

  • Impossible : dont la probabilité est égale à 0 (0%).

  • Certain : dont la probabilité est 1 (100%).

  • Probable : dont la probabilité est entre 0 et 1 (entre 0% et 100%).

  • Élémentaire : qui contient un seul élément.

  • Compatibles/incompatibles : dont l'intersection n'est pas vide / dont l'intersection est vide.

  • Dépendants/indépendants : quand le résultat du 2e tirage est influencé par le 1er tirage / quand le résultat du 2e tirage n'est pas influencé par le 1er tirage.

​​​​En fonction des différentes situations, détermine les qualificatifs qui sont les plus appropriés pour chacune d'elles.

1)  A : Tirer un as d'un jeu de cartes de 52 cartes.
     B : Tirer un roi d'un autre jeu de 52 cartes.

2)  Obtenir huit en lançant un dé à six faces.

3)  Piger deux boules de façon consécutive et sans remise dans une urne qui en contient 30.

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Les types de probabilités​​​

Tout comme dans plusieurs domaines, la théorie et la pratique donnent souvent deux résultats différents :

  • Probabilité fréquentielle : Probabilité qui est obtenue à la suite de la réalisation d'une expérience.

  • Probabilité théorique : Probabilité qui est obtenue à la suite de l'analyse théorique des résultats possibles.

En prenant connaissance des situations suivantes, identifie s'il s'agit d'une probabilité fréquentielle ou théorique.

A) Pour déterminer la probabilité d'obtenir pile ou face lorsqu'on lance une pièce de monnaie, Julien en lance une à 50 reprises et note les résultats chaque fois. Au final, il obient |P(\text{pile}) = \displaystyle \frac{23}{50}| et |P(\text{face})=\displaystyle \frac{27}{50}|.

B) Puisqu'un dé régulier possède six faces identiques, on peut déterminer que |P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \displaystyle \frac{1}{6}.|

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Calculer une probabilité

||\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Nbre de résultats recherchés}}{\text{Nbre de résultats possibles}}||

​Par ailleurs, le dénombrement des résultats possibles sera influencé si le tirage est fait avec ou sans remise.

​​​​Pour gagner le grand prix à une fête de quartier, les concurrents doivent piger deux boules noires de façon consécutive. Pour ce faire, ils ont le choix entre deux modalités.

A) Piger, sans remise, dans une urne qui contient 10 boules : cinq sont rouges, trois sont vertes et deux sont noires.

B) Piger, avec remise, dans une urne qui contient 15 boules : sept sont rouges, cinq sont vertes et trois sont noires.

Afin de maximiser ses chances, quelle modalité devraient choisir les concurrents?

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Statistique

Les méthodes d'échantillonnage

Voici deux méthodes d'échantillonnage qui sont fréquemment utilisées :

  • Aléatoire : les éléments sont choisis au hasard, sans méthodologie précise.

  • Systématique : les éléments sont choisis en respectant une fréquence précise.

Pour chacune des situations, identifie laquelle des méthodes est la plus appropriée.

1) Dans une usine, on contrôle la qualité en vérifiant un produit à chaque tranche de 100 sortant de la chaine de production.

2) Pour essayer de prédire les résultats de la prochaine élection, on effectue un sondage en interrogeant les gens à la sortie d'un centre commercial.​

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Les sources de biais​​

​Pour s'assurer de la crédibilité d'un sondage, il y a certains pièges qu'il faut éviter durant la création, la passation et l'analyse des données de celui-ci. Entre autres, les sources de biais suivantes sont souvent évoquées :

  • La taille de l'échantillon : s'assurer d'interroger assez de gens afin que les résultats soient représentatifs de la population.

  • La formulation des questions : s'assurer que les questions ne suggèrent aucune prise de position.

Parmi les situations suivantes, indique si la question est biaisée. Dans l'affirmative, identifie la source de biais.

A) Pour savoir ce que les gens pensent de l'agrandissement de l'hôtel de ville, le maire envoie un sondage, par la poste, à 1 000 des 5 000 résidents.

B) La question suivante est posée : « N'êtes-vous pas en accord avec le fait qu'une compagnie ne déménage pas son siège social pour éviter de perdre certains avantages ​fiscaux? »​

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Les types de caractères étudiés​​

De façon générale, on peut définir le type de caractère étudié à l'aide des qualificatifs suivants :

  • Qualitatif : lorsque la réponse est un mot ou une expression.

  • Quantitatif discret : lorsque la réponse est une valeur numérique faisant partie de l'ensemble des entiers |(\mathbb{Z}).|

  • Quantitatif continu : lorsque la réponse donnée est une valeur numérique faisant partie de l'ensemble des réels |(\mathbb{R}).|

​​​Parmi les situations suivantes, identifie le caractère étudié ainsi que le type qui leur est associé.

A) On interroge les gens sur leur animal de compagnie préféré.

B) On interroge les gens sur le nombre d'animaux de compagnie qu'ils ont à leur domicile.​

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Analyser une distribution​​​

​Une fois que les données ont été amassées, il faut les analyser afin d'en tirer des conclusions satisfaisantes. Pour ce faire, on utilise quelques valeurs numériques :

  • Moyenne |= \displaystyle \frac{\text{Somme des données}}{\text{Nombre total de données}}|

  • Étendue |= \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}|

  • Minimum | = \text{Plus petite valeur de la distribution}|

  • Maximum | = \text{Plus grande valeur de la distribution}|

​​Afin d'avoir une idée de la grandeur des vêtements sportifs qu'une école veut fournir aux membres des différentes équipes, elle demande à |\color{blue}{20}| élèves de donner leurs mensurations. Voici les résultats obtenus concernant la taille (en cm) de chacun :

|\color{green}{120,}| |\color{red}{124,}| |\color{red}{124,}| |\color{red}{ 125,}| |\color{red}{127,}| |\color{red}{128,}| |\color{red}{129,}| |\color{red}{130,}| |\color{red}{131,}| |\color{red}{134,}| |\color{red}{134,}| |\color{red}{134,}| |\color{red}{141,}| |\color{red}{142,}| |\color{red}{142,}| |\color{red}{143,}| |\color{red}{145,}| |\color{red}{147,}| |\color{red}{148,}| |\color{fuchsia}{149}|

À l'aide de cette distribution, détermine la valeur de la moyenne et de l'étendue.

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Le diagramme à bandes

Afin de n'oublier aucun élément dans la création d'un tel diagramme, on peut suivre les étapes suivantes :

  1. ​Construire un tableau de distribution.

  2. Identifier les axes et le titre du graphique.

  3. S'assurer d'une bonne graduation et d'un bon espace pour écrire les différentes modalités / valeurs du sondage.

  4. Associer la longueur des bandes aux effectifs de chacune des modalités / valeurs.

​​ ​​​​À la sortie d'un centre d'achats, on s'informe sur le nombre de cadeaux que chaque personne pense offrir aux membres de leur famille immédiate. Voici les différentes réponses obtenues :

​|3,| |4,| |2,| |6,| |5,| |3,| |5,| |6,| |1,| |4,| |1,| |5,| |4,| |6,| |8,| |5,| |6,| |8,| |4,| |5,| |3,| |6,| |2,| |4,| |5,| |2,| |6,| |5,| |3,| |2|

Afin d'avoir une idée plus juste des intentions des gens, regroupe ces données dans un diagramme à bandes.

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Le diagramme circulaire

​Afin de n'oublier aucun élément dans la création d'un tel diagramme, on peut suivre les étapes suivantes :

1) ​Construire un tableau de distribution avec les mesures d'angles au centre des secteurs.

Modalités ou valeurs Effectifs ​Fréqu​ence (%) ​​Angle au centre du secteur (°)

​Selon les choix de réponses offerts

​Dénombrement de chacune des modalités / valeurs

​|\displaystyle \frac{\text{Effectif analysé}}{\text{Effectif total}} \times 100|

​|\displaystyle \frac{\text{Fréquence}}{100 \%} = \frac{\text{m d'angle}}{360^\circ}|​​

2) Dessiner chacun des secteurs en respectant leur angle au centre.

3) Ajouter une légende​ et un titre.

4) S'assurer que les pourcentages soient écrits sur chacun des secteurs.

​​​​Pour avoir une représentation globale de l'investissement des revenus d'une compagnie, le directeur général demande de synthétiser les informations suivantes dans un diagramme circulaire : ||\begin{align} \color{blue}{\text{Salaire}} &= \color{blue}{1 \ 190 \ 000\ $} \\ \color{orangered}{\text{Électricité}} &= \color{orangered}{420 \ 000\ $} \\ \color{gray}{\text{Chauffage}} &= \color{gray}{315 \ 000\ $} \\ \color{orange}{\text{Publicité}} &= \color{orange}{700 \ 000\ $} \\ \color{darkblue}{\text{Placements}} &= \color{darkblue}{245 \ 000\ $} \\ \color{green}{\text{Rénovations}} &= \color{green}{630 \ 000\ $} \end{align}||

À toi de jouer!​

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