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Bonjour Alloprof,

Je fait souvent des opérations mathématique en passe temps et j'achète des livre de calcul avancé.

Je suis tombé en réflexion sur une questions que j'ai du mal à répondre et je chercherais une explication.

Voici la question :

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Je sais que f(x)=∫0xtsin⁡(t2) dtf(x) = \int_0^x t \sin(t^2) \, dtf(x)=∫0x​tsin(t2)dt, donc pour x→0x \to 0x→0, la fonction ne présente pas de singularité, et elle reste bien définie. Elle est continue et tend vers 0 quand xxx approche 0,Quand xxx devient très grand, je remarque que sin⁡(t2)\sin(t^2)sin(t2) oscille entre -1 et 1, et cela signifie que f(x)f(x)f(x) va osciller aussi. Cependant, l'amplitude des oscillations ne diminue pas assez rapidement pour que l'intégrale converge. En fait, l'intégrale ∫0∞f(x) dx\int_0^\infty f(x) \, dx∫0∞​f(x)dx risque de diverger.Mais c'est pour la suite que j'ai de la misère

Merci,

GiganotosaureIntergalactique9154

Salut! J'ai trouvé une explication, j'espère pouvoir t'aider!

D'accord, tu as bien analysé le comportement de la fonction \( f(x) = \int_0^x t \sin(t^2) \, dt \). Je vais t’aider à approfondir la question sur la divergence de l’intégrale \( \int_0^\infty f(x) \, dx \).

1. **Comportement de \( f(x) \) pour \( x \to \infty \) 

Comme tu l’as remarqué, la fonction \( \sin(t^2) \) oscille entre \(-1\) et \(1\). Cela entraîne des oscillations dans \( f(x) \), mais la clé ici est de voir si \( f(x) \) tend vers zéro suffisamment rapidement pour que l’intégrale de \( f(x) \) converge.

En utilisant l’intégration par parties avec \( u = t \) et \( dv = \sin(t^2) dt \), on pourrait obtenir une approximation du comportement asymptotique de \( f(x) \). En général, l’intégrale de \( t \sin(t^2) \) ne tend pas vers zéro assez vite pour que l’intégrale impropre de \( f(x) \) soit convergente.

2. Examen de la convergence de \( \int_0^\infty f(x) \, dx \)

L’un des moyens les plus efficaces de déterminer la convergence est d’étudier le critère de comparaison avec une fonction dont on connaît déjà le comportement.

Si \( f(x) \sim x \) pour \( x \to \infty \), alors \( \int_0^\infty f(x) \, dx \) aurait tendance à diverger comme \( \int_0^\infty x \, dx \), qui est bien connu pour être divergent.

Un raisonnement plus rigoureux peut impliquer une analyse asymptotique des oscillations et une étude de la moyenne de \( \sin(t^2) \) sur des intervalles de grande taille.

3. Que faire pour la suite ?

Si tu veux une preuve formelle de la divergence, il faudrait examiner si \( f(x) \) décroît suffisamment rapidement ou non en utilisant un critère d’intégrabilité comme celui de Dirichlet ou des tests de convergence de séries intégrales.  

Un moyen rapide serait de vérifier si \( f(x) \) est bornée par une fonction qui est connue pour être divergente.