Aide-mémoire | Mathématiques — Secondaire 5 (SN)

Simplifie au maximum l'expression suivante : ||\dfrac{(27 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{1}{3}}a^3}||

​Quel​le est la valeur simplifiée de la racine suivante : ||\sqrt{45}||

En utilisant les lois des logarithmes, simplifie l'expression suivante : ||\log_4 6x^2 + \log_4 9xy - \log_4 2y||​

​​Factorise l'expression algébrique suivante : ||{\mid}-4x+8{\mid}||sous la forme |a {\mid}x \pm h{\mid}.|

|f(x) = a (c) ^{bx} + k|

où

|b = | fréquence de capitalisation
|k = | asymptote
| c = 1 \pm| pourcentage de variation en nombre décimal

​​Lorsqu'un placement est fait dans une institution bancaire, son rendement est généralement évalué selon une fonction exponentielle. Par contre, pour bénéficier de certains taux qui sont plus avantageux, une somme minimale d'investissement est requise.

Ainsi, après combien d'années un investissement initial de 5 000 $ capitalisé aux 2 ans à un taux d'intérêt de 5 % dont l'investissement minimal requis est de 3 000 $ rapporte-il au moins 8 000 $?​

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes :

• faire une représentation graphique de la situation

• vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 

En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

|f(x) = a \log_c (b(x-h))|

où

|\dfrac{1}{b} + h =| le zéro de la fonction
|h = | l'asymptote de la fonction

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes :

• faire une représentation graphique de la situation

• vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 

En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

|f(x) = a \sqrt{b(x-h)} + k|

où

|(h,k) = | Coordonnées du sommet,
|b = | généralement |\pm 1| et
les signes de |a| et |b| dépendent de l'orientation de la courbe.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes :

• faire une représentation graphique de la situation

• vérifier l'inéquation à l'aide d'un point

En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

Sous sa forme canonique : |f(x) = \displaystyle \frac{a}{b(x-h)} + k|

Sous sa forme de quotient : ​|f(x) = \displaystyle \frac{ax+b}{cx​+\ d}|

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes :

• faire une représentation graphique de la situation

• vérifier l'inéquation à l'aide d'un point

En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

|f(x) = a {\mid}x - h{\mid} + k|

où

|(h,k) =| coordonnée du sommet
|\pm a =| pente de chacune des droites formant le graphique de la fonction

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes :

• faire une représentation graphique de la situation

• vérifier l'inéquation à l'aide d'un point

En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

En fonction de la situation, on peut choisir parmi trois modèles de fonctions trigonométriques :

|f(x) = a \cos (b (x-h)) + k|

|g(x) = a \sin(b (x-h)) + k|

|h(x) = a \tan(b (x-h)) + k|

Pour divertir ton chien, tu décides d'aller jouer dehors avec lui à son jeu favori, soit « rapporte la ba-balle ». Te situant maintenant à 10 mètres de la maison, tu t'assures de toujours lancer la « ba-balle » 30 mètres plus loin. De plus, tu as remarqué qu'à cette distance, ton chien met 12 secondes pour aller la chercher et te la rapporter. Bien entendu, tu relances la balle aussitôt qu'il te la rapporte et ce, pendant cinq minutes.

Par contre, ton chien n'est pas parfaitement dressé. Ainsi, tu as peur qu'il s'enfuit quand il se trouve à plus de 30 mètres de la maison. En tenant compte de ces informations, pendant combien de temps durant ce jeu as-tu peur que ton chien s'enfuit?

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes :

• faire une représentation graphique de la situation

• vérifier l'inéquation à l'aide d'un point

En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

Avant de résoudre ce genre d'équations, il est important de les simplifier au maximum à l'aide des différentes identités trigonométriques.

Quelles sont les valeurs de |x| qui satisfont l'équation suivante : ||3 \sin^2x + \sec x - 0{,}48 = \dfrac{1}{\cos x}||

Pour certains investisseurs, spéculer sur les diverses valeurs boursières à la bourse est une vraie passion. Pour essayer de prédire les valeurs des différentes actions et les profits potentiels, ces gens utilisent différents graphiques pour ensuite les associer à des modèles mathématiques. Pour l'étude d'une certains compagnie étrangère, on peut utiliser les fonctions suivantes pour modéliser les différentes variables qui influencent le rendement final de chaque action:
 

Nombre d'actions sur le marché : |f(x) = 10x - 500|

Profit d'une action : |g(x) = -x^2+160x - 6\ 400|

Nombre d'actionnaires : ​|h(x)= -2x^2 + 260x - 8\ 000|

où |x =| nombre d'années écoulées depuis sa création

Quelle fonction pourrait-on utiliser pour déterminer le profit moyen obtenu par chaque actionnaire?

Afin d'établir leur budget pour la prochaine année, le comité d'administration d'Alloprof s'est penché sur les couts de production des fiches de la bibliothèque virtuelle. Pour ce faire, ils ont utilisé deux fonctions :

fonction f : |t = \dfrac{5}{4} n|

fonction g : |s = 124t + 2\ 000|

où |n = | nombre de fiches produites, |t=| le nombre d'heures travaillées et |s = | salaire (en $) à verser aux employés.

​Modélise cette situation à l'aide d'une seule fonction pour ensuite déterminer le nombre total de fiches qu'il serait possible de produire avec un budget de 13 625 $.

Afin de maximiser les profits de son entreprise, un directeur général tient à savoir combien de vestons et de chemises il doit vendre à chaque semaine. Dû à certaines contraintes de production, il sait que le nombre maximal de chemises correspond au retranchement du quadruple de vestons à 21. À cause du transport, le nombre de vestons doit être plus grand ou égal à la différence entre 8 et le triple du nombre de chemises. Finalement, le reste entre le triple du nombre de vestons et le double du nombre de chemises doit être d'au moins deux. 

En sachant que chaque veston vendu rapporte un profit de 32 $ et que celui associé à la vente d'une chemise est de 17 $, quel est le profit maximal hebdomadaire qu'il peut espérer obtenir?

​Si un angle mesure |\color{red}{227^\circ},| quelle sera sa mesure en radians?

Démontrer l'identité suivante : ||\sec \theta - \cos \theta = \tan \theta \sin \theta||

​Dans un plan cartésien, dessine |\color{red}{\overrightarrow u} = (-3, 8)| pour ensuite déterminer sa norme et sa direction.

Pour s'y retrouver dans les différentes opérations sur les vecteurs, il est important de bien définir les notions suivantes :

L'addition et la soustraction
Si |\color{blue}{\overrightarrow u = (a,b)}| et |\color{red}{\overrightarrow v = (c,d)}|, alors |\color{blue}{\overrightarrow u} + \color{blue}{\overrightarrow v} = (\color{blue}{a} + \color{red}{c}, \color{blue}{b}+ \color{red}{d}) |

La multiplication d'un vecteur par un scalaire
Si |\overrightarrow u = (\color{blue}{a}, \color{red}{b})| et |k| est un scalaire, alors |k \overrightarrow u = (k \color{blue}{a}, k \color{red}{b})|

Le produit scalaire​
Si |\color{blue}{\overrightarrow u = (a,b)}| et |\color{red}{\overrightarrow v = (c,d)}|, alors |\color{blue}{\overrightarrow u} \cdot \color{red}{\overrightarrow v} =  \color{blue}{a}\color{red}{c}+ \color{blue}{b}\color{red}{d}|

La combinaison linéaire de deux vecteurs
Soit |\color{blue}{\overrightarrow u}| et |\color{red}{\overrightarrow v}|​, alors il est possible d'obtenir |\color{green}{\overrightarrow w​}| selon une combinaison linéaire telle que |\color{green}{\overrightarrow w} = k_1 \color{blue}{\overrightarrow u} + k_2 \color{red}{\overrightarrow v}| avec |\{k_1,k_2\} \in \mathbb{R}.|

Détermine les valeurs des scalaires |\{k_1,k_2\}| tels que |\color{blue}{\overrightarrow w = (4,-12)}| soit le résultat d'une combinaison linéaire de |\color{red}{\overrightarrow u = (-1,4)}| et |\color{green}{\overrightarrow v = (2,5)}.|

Après une violente tempête, un arbre est tombé sur la route qui mène au chalet de Julien. Pour libérer le passage, il attache une corde à sa base afin de le tirer hors du chemin. ​​​

Ainsi, quel travail devra effectuer Julien pour le déplacer sur une distance de 12 m s'il déploie une force de |150 \ \text{N}| et que la corde qu'il utilise forme un angle de |21^\circ| par rapport à l'horizontal tout en négligeant la force de frottement?​

Démontrer que : ||(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow {FG} +\overrightarrow{GE} + \overrightarrow {ED}) = \overrightarrow {BF}||

​À chaque matin, tu dois te rendre à l'arrêt d'autobus pour attendre ton moyen de transport qui te reconduit à ton école. Afin que l'arrêt soit centralisé pour les autres élèves du coin, tu as remarqué qu'il partageait le segment de rue qui rejoint ta maison à ton école dans un rapport 1 : 4.

​

En utilisant les informations disponibles, détermine les coordonnées de l'endroit où se situe ton arrêt d'autobus.

Il est important de bien différencier les deux types de notations utilisées pour illustrer la portion associée à un point de partage pour ensuite utiliser la notation appropriée à la formule :

Un rapport | = a:b\ \Rightarrow\ \displaystyle \frac{a}{a+b} = | une fraction

​

Pour son premier voyage de pêche, Gitane se sert d'un sonar pour localiser ses potentielles prises. Par contre, elle s'interroge sur la portée de son sonar. En fonction des informations présentées sur le dessin ci-dessous, détermine la superficie, en |\text{km}^2,| couverte par son radar.

Ayant adoré sa première expérience de pêche, Gitane décide de se procurer un magnifique canot. Par contre, elle doit déterminer les dimensions exactes de ce dernier afin de s'assurer qu'elle pourra le transporter sur sa voiture. Pour l'aider, elle l'a dessiné dans un plan cartésien pour en obtenir les informations suivantes :​

À l'aide de ces informations, détermine la longueur et la largeur maximales du canot.

Peu importe l'orientation de l'hyperbole, le taux de variation des asymptotes (lignes pointillées) équivaut à |\displaystyle \pm \frac{\color{fuchsia}{b}}{\color{red}{a}}.|

Finalement, Gitane décide de se rendre sur un cours d'eau un peu plus achalandé. À son grand malheur, elle constate qu'elle se fait dépasser par deux bateaux simultanément. Afin d'éviter de chavirer, elle doit déplacer son embarcation du point de rencontre des deux houles formées par les ​​bateaux. Il est possible de représenter la situation de la façon suivante :

À l'aide de ces données, détermine l'équation associée au modèle mathématique qui permettra à Gitane de mieux orienter sa navigation.​

Pour avoir une idée de la grosseur du poisson, Gitane a remarqué qu'elle peut se fier à la courbure de sa canne à pêche au moment où le poisson mord à l'hameçon. En utilisant son sonar acheté précédemment, elle peut déduire les informations suivantes :

Étant de forme parabolique, Gitane s'interroge sur l'équation qu'il est possible d'utiliser pour modéliser cette situation.

Un peu tannée de la pêche, Gitane décide de se payer un voyage dans une région où il est possible d'aller faire du bateau avec des requins aux allures préhistoriques tels des dinosaures de mer. Avec l'eau qui est pratiquement claire, elle peut les voir nager sans problème. Par contre, elle les perd de vue lorsqu'ils passent sous l'embarcation​.

En prenant pour acquis qu'ils nagent en ligne droite à une vitesse de 5 m/sec, détermine pendant combien de temps les requins sont sous le navire.

Quelles sont les coordonnées des points d'intersection des deux coniques suivantes :

​Quelle sont les coordonnées du point associé à un angle de |\displaystyle \frac{-17\pi}{4}|?